Levy διαδικασίες

Abstract

Στην εργασία αυτή, θα αναπτύξουμε τις ανελίξεις Lévy. Στην αρχή πραγματοποιείται μια ανασκόπηση στα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για την μελέτη των στοχαστικών ανελίξεων. Συγκεκριμένα θα εισάγουμε κάποιους βασικούς ορισμούς από τις Πιθανότητες τους οποίους θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια όπως δειγματικός χώρος, σ-άλγεβρα, άλγεβρα Borel, χώρος Πιθανότητας καθώς και τις διακριτές-συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Επίσης, θα αναφερθούμε στις ιδιότητες της μέσης τιμής αλλά και της δεσμευμένης τιμής που θα χρειαστούμε στις ασκήσεις των martingale παραδειγμάτων.Στην συνέχεια εισάγουμε τους ορισμούς σε martingale-supermartingale-submartingale διαδικασίες και αναφέρουμε την σύνδεση τους με τα Χρηματοοικονομικά αναλύοντας το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου. Επίσης, αναφέρουμε τις έννοιες σε χρόνους στάσης και κίνηση Brown τις οποίες θα χρειαστούμε στα επόμενα κεφάλαια. Τέλος, θα επεκταθούμε στις διαδικασίες Lévy δίνοντας τον ορισμό τους καθώς και την έννοια της απείρως διαιρέσιμης κατανομής παραθέτοντας και παραδείγματα κατανομών. Θα αναφέρουμε την αναπαράσταση των Lévy-Khintchine σε μορφή θεωρήματος και την εφαρμογή της σε ορισμένα παραδείγματα κατανομών. Θα συνεχίσουμε ορίζοντας το μέτρο Lévy μαζί με τους περιορισμούς που έχει καθώς και την Lévy–Itô Decomposition με μορφή θεωρήματος.Τελειώνοντας θα ορίσουμε την έννοια της semimartingale διαδικασίας και θα δούμε την σύνδεση με τις Lévy διαδικασίες.