Applications on branching processes

Abstract

Branching processes are stochastic processes with main difference among other stochastic processes that the systems that they can model have a special construction: a single individual lives for a unit of time and by its death produces 𝑛������ identical copies of itself. According to that principle and based on the relevant branching literature, branching processes are considered as a classical approximation for epidemics, biology, physics etc. The aim of this master thesis is to study in depth a type of stochastic processes, the branching processes, and focus on the existing applications, which would allow us to examine how these processes specifically are implemented and detect the strengths of branching processes comparing to other stochastic models. Additionally, primary scope constitutes the implementation of those processes in two different application areas. After an extensive search of the relevant branching processes’ literature, we obtained that modeling and evaluating system reliability by using these processes seems to be poorly documented. This is the reason why the first part of this research focuses on the application of branching process on system reliability. In particular, we examine a refinery pump system reliability through branching processes. A Markov model is used to formulate real data from a petrochemical industry and be able to use them as inputs to the branching model. Through this application, a refinery pump system availability is discussed in an alternative perspective than in typical reliability theory. The probability of ultimate extinction of that peculiar population consisting of pumps as well as the failure probability of the system during a year are estimated as typical properties of branching processes. Among other findings, that are concentrated to system availability, is that comparing to other stochastic models, a branching process approximation of the system reliability could be profitable for the maintenance departments, as an alternative perspective, because through the expected number of working components and the probability of extinction, the reliability of an entire industry unit is discussed. Moreover, motivated by the sudden outbreak of the Covid-19 pandemic incidence and based on the fact that branches processes are extensively used to model dynamics of epidemics, another application these processes, refering to a typical branching approximation of the coronavirus (covid-19) spread in Greece is also presented. For this epidemiology model application, by using branching processes and their main properties, important factors are estimated for the virus transmission in Greece, such as the basic and effective reproduction numbers along with the probabilities of the extinction and an outbreak. Based on these factors and on an additional non-mitigation scenario, the effectiveness of control measures is discussed. Overviewing the results revealed that the virus transmission was aggressive, however the control measures were effective. This statement is supported by the values of the aforementioned indicators.

In general, the contribution of this research is based οn three pillars. First of all, an analytical theoretical framework of branching processes is presented. Secondly, it provides knowledge about how to formulate and provide reliable results of a real problem in an alternative area of application for these processes, such as the mechanical system reliability. Finally, based on the fact that the presented branching models are consisting of different populations and thus the notion of parameters such as the expected number of population and the probability of extinction differ, we can assume that this research gives a comprehensive view of branching processes dynamics compared to other stochastic processes. Finally, according to the findings of those implementations, ideas for future work are extensively presented.

Η παρούσα διπλωματική εργασία, εστιάζει στις διαδικασίες διακλάδωσης (δ.δ.) και διαρθρώνεται σε δυο μέρη τα οποία αφορούν δύο εφαρμογές των διαδικασιών αυτών. Βασική επιδίωξη αποτελεί η σε βάθος μελέτη των διαδικασιών διακλάδωσης και των εφαρμογών τους, με σκοπό την υιοθέτησή τους στις εφαρμογές για τη μοντελοποίηση και τη μελέτη ποικίλων συστημάτων. Πρόκειται για μια κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών οι οποίες συνήθως χρησιμοποιούνται για τη μελέτη πληθυσμών οι οποίοι χαρακτηρίζονται από συγκεκριμένη δομή: ένας «γονέας» ζει στη γενιά n για μια μονάδα χρόνου και με το θάνατό του αφήνει στην n+1 γενιά k πανομοιότυπους απογόνους. Λόγω αυτής της ιδιαίτερης δομής οι διαδικασίες διακλάδωσης έχουν ως βασικά πεδία εφαρμογής τη βιολογία, τη γενετική και τη φυσική, ενώ στα πλαίσια των κοινωνικών επιστημών η διάδοση των ονομάτων ανά τις γενιές έχει ερευνηθεί ενδελεχώς. Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια στην επιστημονική βιβλιογραφία εντοπίζονται έρευνες οι οποίες χρησιμοποιούν τα μοντέλα αυτά για τη μελέτη εναλλακτικών, σε σχέση με τις κλασσικές εφαρμογές, συστημάτων όπως η διάδοση βλαβών σε τεχνολογικά συστήματα (Fazlollahtabar και Niaki (2018);Roche-Carrier, και συν. (2019); Gorshkov, Koroleva και Ezhov (2019)). Σημαντική πληροφορία για τις βλάβες των προαναφερθέντων συστημάτων είναι ότι συνήθως αναφέρονται ως cascading failures οι οποίες καθιστούν το σύστημα μη λειτουργικό (Dobson, Carreras και Newman (2005)). Επιπροσθέτως, ορισμένες νέες μελέτες προσανατολίζονται στη χρήση των διαδικασιών διακλάδωσης στον τομέα των χρηματοοικονομικών (Li (2017)), ενώ υπάρχουν άρθρα που δίνουν ένα θεωρητικό πλαίσιο για τη μοντελοποίηση εναλλακτικών συστημάτων (Hermann και Pfaffelhuber (2019)). Συνεπώς, αποκτώντας μια ολοκληρωμένη εικόνα για τον προσανατολισμό των σύγχρονων επιστημονικών ερευνών γύρω από τις διαδικασίες διακλάδωσης, η διπλωματική εργασία πρόκειται αρχικά να εστιάσει στη δημιουργία ενός μοντέλου για τη μελέτη της αξιοπιστίας μιας μονάδας διυλιστηρίου αποτελούμενη από αντλίες. Επιπρόσθετα, δεδομένης της ιδιαίτερης μορφής των συστημάτων που μοντελοποιούν οι δ.δ. αλλά και της συγκυρίας της πανδημικής διάδοσης του κορωνοϊού σε παγκόσμιο επίπεδο, η δεύτερη εφαρμογή θα προσανατολίζεται στην ανάπτυξη ενός κλασσικού μοντέλου για τη διάδοση του SARS-2 στην Ελλάδα. Το υπό εξέταση σύστημα της πρώτης εφαρμογής αφορά μια βιομηχανική μονάδα αποτελούμενη από τρία διαφορετικά είδη αντλιών με εφεδρείες. Δεδομένου ότι τα Μαρκοβιανά μοντέλα έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως και αποτελούν καλή προσέγγιση για τη μελέτη αξιοπιστίας τεχνολογικών συστημάτων (Dawid, McMillan και Revie (2015);Gabe, Freire και de Andrade (2019);Ye, και συν. (2020)), η βασική ιδέα της πρώτης εφαρμογής είναι η δημιουργία ενός αρχικού (Μαρκοβιανού) μοντέλου που έχει σκοπό τον εντοπισμό όλων των πιθανών βλαβών των στοιχείων του συστήματος και στη συνέχεια τον υπολογισμό της ασυμπτωτικής πιθανότητας λειτουργίας του κάθε αντλίας, κάνοντας χρήση πρωτογενών δεδομένων από τη βιομηχανία. Οι πιθανότητες αυτές θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια ως τιμές-εισαγωγής στο μοντέλο διακλάδωσης, μέσω του οποίου εξετάζεται η αξιοπιστία και η διαθεσιμότητα ολόκληρου του συστήματος. Το γεγονός ότι οι δ.δ. πρόκειται να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση των βλαβών και όχι του πληθυσμού των αντλιών επιτρέπει μια προσέγγιση χωρίς «cascading failures». Βασικά ζητούμενα σε μια ανάλυση μέσω δ.δ. είναι η πιθανότητα αφανισμού του πληθυσμού και ο αναμενόμενος αριθμός απογόνων. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας τη διωνυμική κατανομή στο μοντέλο διακλάδωσης και μέσω πιθανογεννητριών συναρτήσεων, υπολογίζονται τόσο η πιθανότητα αφανισμού όσο και ο αναμενόμενος αριθμός λειτουργικών αντλιών της μονάδας. Οι πιθανότητες βλάβης για κάθε είδος αντλίας που πρόκειται να υπολογιστούν μέσω της αρχικής ανάλυσης (Markov model) λαμβάνουν υπόψη τις εφεδρείες και αποτελούν βασικό κομμάτι των πιθανογεννητριών συναρτήσεων. Συμπληρωματικά, εκτός από τον υπολογισμό της πιθανότητας ολικού αφανισμού σκοπός είναι να υπολογιστεί η πιθανότητα αφανισμού για διάφορες χρονικές περιόδους. Συνεπώς, το σύνολο της ανάλυσης καθώς και τα αποτελέσματα αυτής θα είναι ικανά να δώσουν μια ολοκληρωμένη εικόνα για τη διαθεσιμότητα της μονάδας και να θεωρηθούν χρήσιμα για τη δημιουργία πλάνων προληπτικής συντήρησης. Όσον αφορά στη δεύτερη εφαρμογή, είναι γνωστό από τη σχετική βιβλιογραφία ότι τα πρώτα στάδια μιας επιδημίας μοντελοποιούνται συνήθως με δ.δ. γιατί όσο ακόμα είναι μικρός ο αριθμός νοσούντων θεωρείται ότι τα άτομα δρουν ανεξάρτητα (Lange (2010);Blumberg, Funk και Pulliam (2014)). Επιπροσθέτως, όταν η μετάδοση ενός ιού είναι επιδημικού/πανδημικού επιπέδου, συνήθως τα κράτη λαμβάνουν μέτρα με σκοπό τον περιορισμό της εξάπλωσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι δ.δ. θεωρούνται χρήσιμο εργαλείο για τη μοντελοποίηση της εξάπλωσης του ιού μετά τη λήψη μέτρων με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι αλυσίδες (ή/και clusters) μετάδοσης (Blumberg, Funk και Pulliam (2014)). Στόχος της μελέτης για τη διάδοση του SARS-2 στην Ελλάδα, είναι αρχικά η δημιουργία ενός κλασικού μοντέλου δ.δ. με τη χρήση της αρνητικής διωνυμικής κατανομής για τη διάδοση του ιού, με σκοπό την εξαγωγή χρήσιμων δεικτών και έπειτα, μέσω πειραματισμού με τα πραγματικά δεδομένα, η δημιουργία μιας προσέγγισης δ.δ. με διαφορετική κατανομή. Πιο συγκεκριμένα, οι δείκτες μείζονος σημασίας, οι οποίοι απορρέουν από το μοντέλο διακλάδωσης είναι ο μέσος αριθμός δευτερογενών περιπτώσεων (R_0 ή R_eff) και η πιθανότητα αφανισμού της διάδοσης (γ). Το R_0 αποτελεί σημαντική παράμετρο τόσο για τα αρχικά στάδια όσο και για όλη τη διάρκεια της εξάπλωσης ενός ιού καθώς βάσει αυτού αρχικά χαρακτηρίζεται μια κατάσταση ως επιδημία ή πανδημία. Συμπληρωματικά με την πιθανότητα αφανισμού της διάδοσης σκοπός είναι να υπολογιστεί η πιθανότητα να υπάρξει έξαρση του ιού (outbreak). Επιπροσθέτως, εξετάζεται η επιλογή να δημιουργηθεί συμπληρωματικά ένα μοντέλο πρόβλεψης του αριθμού των κρουσμάτων, βάσει των δεδομένων που υπάρχουν σε διαθεσιμότητα, για το υποθετικό σενάριο που δε θα είχε ληφθεί κανένα μέτρο για την αποφυγή εξάπλωσης του ιού. Συμπερασματικά, η παρούσα διπλωματική εργασία εστιάζει στη δημιουργία εφαρμογών με τη χρήση των διαδικασιών διακλάδωσης με σκοπό να υπερτονίσει την ικανότητα αυτών να μοντελοποιούν αξιόπιστα διαφορετικά συστήματα. Θεμελιώδης συμβολή της εργασίας θεωρείται το γεγονός ότι πρόκειται να παρουσιάσει τις βασικές αρχές των δ.δ. καθώς και χρήσιμα εργαλεία γύρω από αυτά, τα οποία μπορούν να εφαρμοστούν και σε άλλες περιπτώσεις, πέρα από τα κλασσικά πεδία εφαρμογής. Προς αυτήν την κατεύθυνση ένας επιπλέον στόχος είναι να διερευνηθεί η μοντελοποίηση της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών τίτλων με τη βοήθεια των δ.δ.