Θεωρίες και πρακτικές για την εννοιολόγηση και τη διδακτική εννοιών της μαθηματικής ανάλυσης με χρήση τεχνολογιών πληροφορίας και επικοινωνιών: η έννοια της «μεταβολής» και η δυνατότητα επιρροής της στη διδασκαλία βασικών εννοιών της ανάλυσης από την πρωτοβάθμια μέχρι την τριτοβάθμια εκπαίδευση

Abstract

Η σημασία της έννοιας της 'μεταβολής' (change) και του 'ρυθμού μεταβολής' (rate of change) στη μαθηματική εκπαίδευση έχει αναδειχτεί τα τελευταία χρόνια, τόσο λόγω της σχέσης τους με έννοιες της Μαθηματικής Ανάλυσης όπως το όριο, η παράγωγος και το ολοκλήρωμα, όσο και του μεγάλου αριθμού εφαρμογών τους σε διάφορους κλάδους των επιστημών. Έρευνες σε διεθνές επίπεδο έχουν αναδείξει τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν μαθητές αλλά και φοιτητές στην εννοιολόγηση και στην εφαρμογή αυτών των εννοιών. Παρατηρείται αποσπασματική κατανόηση της συμμεταβολής (covariation) και του ρυθμού μεταβολής, εξαρτημένη από την αναπαράσταση και το πλαίσιο στο οποίο αναφέρονται. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετήθηκε η θέση της έννοιας του ρυθμού μεταβολής στο ελληνικό πρόγραμμα σπουδών και η εννοιολόγηση του ρυθμού μεταβολής από φοιτητές. Για τη διερεύνηση της θέσης της έννοιας του ρυθμού μεταβολής στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα, εξετάστηκε ο τρόπος που δομείται σταδιακά η έννοια, μέσα από αναφορές στο πρόγραμμα σπουδών και στα σχολικά εγχειρίδια, σε σύγκριση με άλλες χώρες. Επιπλέον, εξετάστηκαν οι απόψεις εν ενεργεία εκπαιδευτικών μαθηματικών σε σχέση με τη διδασκαλία της έννοιας. Συγκεκριμένα, οι καθηγητές ρωτήθηκαν για τη σημαντικότητα του ρυθμού μεταβολής, τη θέση του στην υποχρεωτική εκπαίδευση, τις δυσκολίες που εντοπίζουν στους μαθητές και τους τρόπους που θα επέλεγαν για να διδάξουν το θέμα. Στη συνέχεια, διερευνήθηκε ο τρόπος εννοιολόγησης του ρυθμού μεταβολής από φοιτητές. Για τον σκοπό αυτό διαμοιράστηκε ένα ερωτηματολόγιο με έργα γύρω από τον ρυθμό μεταβολής με διάφορες αναπαραστάσεις και ένα ερωτηματολόγιο με έργα που αφορούν στον ρυθμό μεταβολής και σχετικές έννοιες, όπως η κλίση. Για την εννοιολόγηση του ρυθμού μεταβολής, εντοπίστηκαν βασικές έννοιες που απαιτούνται, όπως ο λόγος και οι αναλογίες, η κλίση και η παράγωγος. Παρατηρήθηκε ότι κάποιες από τις έννοιες αυτές διδάσκονται στην υποχρεωτική εκπαίδευση, αλλά δεν αναδυκνείεται η σύνδεση μεταξύ τους. Η εννοιολόγηση του ρυθμού μεταβολής που υπερισχύει σύμφωνα με τον τρόπο που δομείται η έννοια στην υποχρεωτική εκπαίδευση, αλλά και τις απαντήσεις των φοιτητών είναι κυρίως διαδικασιακή και σχετίζεται με την παράγωγο. Με βάση τα ευρήματα των παραπάνω ερευνών και τη διεθνή βιβλιογραφία, προτείνονται προσαρμογές στο πρόγραμμα σπουδών, στις οποίες συγκαταλέγεται η έμφαση στη συμμεταβολή και η διαισθητική προσέγγιση ποσοτήτων που συμμεταβάλλονται από μικρότερη ηλικία. Βασικές συνιστώσες της προσπάθειας αυτής αποτελούν οι αναπαραστάσεις, οι εφαρμογές σε ρεαλιστικά πλαίσια και η εκπαιδευτική αξιοποίηση τεχνολογιών πληροφορίας και επικοινωνιών. Στο πλαίσιο αυτό, αναπτύχθηκαν και παρουσιάζονται ενδεικτικές δραστηριότητες για την ενίσχυση της εννοιολογικής κατανόησης του ρυθμού μεταβολής και βασικών εννοιών που σχετίζονται με αυτόν.

The importance of the concepts of 'change' and 'rate of change' in mathematics education has emerged in recent years, because of their large number of applications and their relationship with concepts of Mathematical Analysis, such as the limit, the derivative and the integral. The difficulties faced by students in understanding and applying these concepts have been highlighted in international research. There is weak understanding of concepts of Mathematical Analysis and especially covariation, depended on the representation and the context in which they refer. In the dissertation, the concept of rate of change across the Greek curriculum, and the conceptualization of change and rate of change by students were studied. In the first part of the study, the school textbooks of Greece were analyzed for references to rate of change and basic concepts that are important for its conceptualization, and the learning trajectory of rate in school curriculum was examined. Besides, examples of the curriculum of other countries were given. Moreover, the beliefs of mathematics teachers of secondary education in Greece about concepts of calculus and especially rate of change were studied. Specifically, teachers’ views about the necessity to teach rate of change, its position in curriculum, the difficulties of students they have observed and the methods they would use to teach the concept, were examined. Regarding conceptualizations of rate of change held by students, a questionnaire with tasks about change and rate of change in different representations and contexts and a questionnaire with tasks of rate of change and basic concepts related to it, as slope were used. Besides slope, ratio, proportionalities, and derivative are concepts that are related to rate of change. These concepts are taught across primary and secondary education, but their connections are not emphasized. The conceptualization of rate that prevails according to the school textbooks and students’ answers was procedural and related to derivative. Based on the findings of the beforementioned studies and the international research, some changes in curriculum are proposed, among which, the emphasis in covariation and the intuitive teaching of covariational quantities in lower grades. The main components of this effort are the representations, the applications in realistic contexts and the educational use of information and communication technology. In this context, indicative activities for the enhancement of conceptual understanding of rate of change and basic concepts related to it were developed and presented.