Εισαγωγή στην εργοδική θεωρία και το εργοδικό θεώρημα του Birkhoff

Abstract

Στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί η έννοια της εργοδικότητας (απο τις λέξεις έργο και οδός), στόχος μας είναι να αναφερθεί και αποδειχθεί το κεντρικής σημασίας Εργοδικό Θεώρημα του Birkhoff καθώς επίσης θα αναφερθούμε σε έννοιες όπως recurrence (επαναφορά), πότε ένας μετασχηματισμός είναι εργοδικός, αλλά και το ασθενέστερο, Μέσο Εργοδικό θεώρημα του J. von Neumann. Η εργοδική αφορά την αλληλεπίδραση της θεωρίας μέτρου με τα δυναμικά συστήματα. Η λέξη Εργοδικός, εισήχθη απο τονBoltzmann (στατιστική μηχανική) ,ο οποίος έκανε την υπόθεση οτι "για μεγάλα συστήματα αλληλοεπιδρώντων σωματιδίων τα οποία βρίσκονται σε ισορροπία, ο μέσος χρόνος μίας τροχιάς ισούται με το μέσο χώρο". Η υπόθεση αυτή τοποθετημένη κατά αυτό τον τρόπο είναι εσφαλμένη, αλλά το ερώτημα, πότε κάτι τέτοιο θα ήταν εφικτό, είναι που έδωσε πνοή σε αυτό που σήμερα καλούμε εργοδική θεωρία. Στα τέλη του1800 ο Poincare ξεκίνησε μία ποιοτική προσέγγιση στα δυναμικά προβλήματα και ακολουθώντας την προσέγγιση αυτή εμφανίστηκαν διάφορα πεδία που αφορούσαν το κατα πόσο ο χώρος φάσης ενός δυναμικού συστήματος είναι ένας αφηρημένος μαθηματικός χώρος. Με αυτή την αφηρημένη προσέγγιση ένα δυναμικό σύστημα σε διακριτό χρόνο αποτελείται απο ένα χώρο X και μία απεικόνιση ή μετασχηματισμό T ορισμένο στον X και με τιμές στον X. Στην εργοδική θεωρία, επίσης γνωστή και ως μετρήσιμη δυναμική (measurable dynamics) το X είναι χώρος μέτρου. Με απλά λόγια η εργοδική θεωρία χρησιμοποιεί εργαλεία από τη θεωρία μέτρου για να μελετήσει της μακροχρόνιες συμπεριφορές δυναμικών συστημάτων.