Η γεωμετρία των επιφανειών

Abstract

Στην παρούσα εργασία ερχόμαστε σε επαφή με γνωστές διαισθητικά επιφάνειες και μελετάμε αναλυτικά τις γεωμετρικές ιδιότητες αυτών μέσω των ισομετριών, δηλαδή απεικονίσεων που διατηρούν τις αποστάσεις. Στο πρώτο μέρος της εργασίας ασχολούμαστε με τη γεωμετρική και αλγεβρική σκοπιά των 2-διάστατων επιφανειών καθώς τις ορίζουμε ως ομάδες πηλίκα όπου οι ομάδες που δρουν στο Ευκλείδειο επίπεδο παράγονται από Ευκλείδειες ισομετρίες. Στο δεύτερο μέρος, μελετάμε τη γεωμετρία της σφαίρας πάλι μέσω των ισομετριών και βλέπουμε την άμεση σύνδεση που έχει με το Μιγαδικό Επίπεδο ενώ γίνεται και μία αναφορά στα Πλατωνικά στερεά και στις συμμετρίες αυτών. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, μελετάμε τις επιφάνειες από την τοπολογική τους σκοπιά και παρουσιάζουμε κάποιες σημαντικές τοπολογικές ιδιότητές τους.