Μια εισαγωγή στα Martingales

Abstract

Η παρούσα πτυχιακή εργασία στοχεύει στο να παρουσιάσει τα martingales μέσω της θεωρίας μέτρου. Αρχικά ορίζονται κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία των πιθανοτήτων μέσω της θεωρίας μέτρου. Έπειτα γίνεται παρουσίαση της δεσμευμένης μέσης τιμής η οποία έχει βαρύνουσα σημασία στην κατανόηση του κυρίως θέματος της εργασίας. Έτσι έχοντας ολοκληρώσει με την παρουσίαση των εισαγωγικών εννοιών ορίζονται τα martingales. Αυτά αποτελούν στρατηγική για τυχερά παιχνίδια κατά την οποία ο παίχτης διπλασιάζει το στοίχημα κάθε φορά που χάνει με σκοπό την φορά που θα κερδίσει να ανακτήσει όλα όσα έχασε έχοντας και κάποιο ελάχιστο κέρδος. Στην συνέχεια της εργασίας παρουσιάζεται η θεωρία των stopping times, δηλαδή τυχαίες χρονικές στιγμές που μπορούν να αναγνωριστούν όταν συμβαίνουν. Τα stopping times χρησιμοποιούνται σε στρατηγικές επενδύσεων άλλα και σε διάφορα τυχερά παιχνίδια και αυτό τα καθιστά πολύ σημαντικά για την εν λόγω εργασία. Στο σημείο αυτό αποδεικνύονται πλήρως τα θεωρήματα στρατηγικής(system theorems) τα οποία χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι κάποια στρατηγική στοιχηματισμού δεν είναι αποδοτική. Στο τέλος της εργασίας για την καλυτερη κατανόηση του θέματος παρουσιάζονται τρεις εφαρμογές : “The Gambler’s ruin’’, “The Maximal inequality’’ και The “ Upcrossing Inequality ” ενώ γίνεται μια συνοπτική αναφορά στην σύγκλιση ενός martingale.