Λογισμός μεταβολών, η αρχή του Χάμιλτον και εφαρμογές στη μαθηματική μοντελοποίηση

Abstract

Σε αυτήν την πτυχιακή εργασία γίνεται μια σύντομη εισαγωγική μελέτη στον Λογισμό των Μεταβολών ο οποίος σχετίζεται με πολλούς κλάδους των Μαθηματικών, όπως η Γεωμετρία και οι Διαφορικές εξισώσεις αλλά και η Φυσική ιδιαιτέρως στην Μηχανική. Αρχικά, παρουσιάζονται βασικές έννοιες και θεωρήματα του Λογισμού των Μεταβολών ενώ παράλληλα θα θεωρήσουμε την ενεργειακή συνάρτηση του Lagrange όπου με χρήση των παραπάνω θα εξάγουμε τις εξισώσεις των Euler-Lagrange που περιγράφουν την κίνηση του συστήματος στο οποίο μελετάμε. Στην συνέχεια, παρουσιάζεται η Χαμιλτονιανή Θεωρία όπου διατυπώνεται μια νέα αρχή που ονομάζεται Αρχή της ελάχιστης δράσης ή Αρχή του Hamilton όπου η Κλασική Μηχανική μπορεί να θεμελιωθεί με βάση αυτή την αρχή αντί των αξιωμάτων του Νεύτωνα. Σύμφωνα με την Αρχή της ελάχιστης δράσης θα εξάγουμε τις εξισώσεις του Hamilton οι οποίες περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος μας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Στο τέλος, Θα εξετάσουμε μια εφαρμογή του Λογισμού Μεταβολών στη Μαθηματική Μοντελοποίηση που σχετίζεται με την μελέτη της συμπεριφοράς καλωδίου χρησιμοποιώντας την αρχή του Hamilton, με σκοπό την ανάπτυξη κατασκευών που χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορα τμήματα της μηχανικής. Η ολοκλήρωση της πτυχιακής μου εργασίας βασίζεται στην συστηματική μελέτη, στην βαθύτερη κατανόηση των εννοιών και εφαρμογών και ασφαλώς στην αγάπη μου για τα Μαθηματικά. Αισθάνομαι να ευχαριστήσω από τα βάθη της καρδίας μου τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Χρήστο Νικολόπουλο ο οποίος με εμπιστεύτηκε δίνοντας μου την ευκαιρία να εκπονήσω την πτυχιακή μου εργασία υπό την επίβλεψη του, την προσφορά γνώσεων του και της τεράστιας καθοδήγησης του. Κλείνοντας, θέλω να ευχαριστήσω την οικογένεια και τους φίλους μου οι οποίοι με υποστήριξαν και στάθηκαν στο πλευρό μου στις δύσκολες στιγμές που προέκυψαν στην πορεία.