Δυναμικά συστήματα σε μία διάσταση και μοντέλα της επιδημιολογίας

Abstract

Σε αυτή την διπλωματική εργασία, γίνεται μια εισαγωγική μελέτη σε πληθυσμιακά μοντέλα σε μία και δύο διαστάσεις, τα οποία συναντούν εφαρμογές και ως βασικά μαθηματικά μοντέλα της επιδημιολογίας. Αρχικά, γίνεται αναφορά και ανάλυση του μοντέλου του Malthus, το οποίο είναι μοντέλο μίας διάστασης. Ύστερα, παρουσιάζεται το μοντέλο Verhulst ή αλλιώς λογιστικό μοντέλο, το οποίο και αυτό είναι μίας διάστασης και αποτελεί βελτιωμένη εκδοχή του μοντέλου Malthus. Με αφορμή τις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γίνεται παρουσίαση της θεωρίας δυναμικών συστημάτων σε μία διάσταση. Αναφέρεται ο ορισμός των σημείων ισορροπίας, της ευστάθειας τους (ευστάθεια, ασυμπτωτική ευστάθεια και αστάθεια) και του διαγράμματος ροής τους, καθώς και ο ορισμός της γραμμικοποίησης με ενδιαφέροντα παραδείγματα, όπως είναι το παράδειγμα της κυβικής εξίσωσης. Επίσης, παρουσιάζονται σηματικά θεωρήματα, όπως ειναι η Αρχή της μεταφοράς. Σχετικά με τα μοντέλα σε δύο διαστάσεις, γίνεται παρουσίαση βασικών χαρακτηριστικών των συστημάτων SIR και SIS, τα οποία μελετώνται αριθμητικά. Για το μοντέλο SIR, αναφέρεται ότι είναι ένα από τα πιο διαδεδομένα επιδημιολογικά μοντέλα διαφορικών εξισώσεων. Διαχωρίζει τους πληθυσμούς σε τρεις βασικές ομάδες : τους Ευπαθείς, τους Μολυσμένους και τους Διαγραμμένους. Για το μοντέλο SIS, αναφέρεται ότι έχει αποδειχθεί αποτελεσματικό για εξαιρετικά μεταδοτικές ασθένειες στις οποίες ο εμβολιασμός δεν παρέχει μακρόχρονη ανοσία. Και στα δύο αυτά μοντέλα δίνονται συγκεκριμένες εφαρμογές και διαγράμματα.