Εισαγωγή στην fractal διάσταση και εφαρμογές

Abstract

Bασικό στοιχείο της μελέτης των fractals αποτελεί η έννοια της διάστασης. Η τοπολογική διάσταση ενός αντικειμένου είναι ένα μέτρο που περιγράφει το μέγεθος του αντικειμένου. Στην περίπτωση, όμως, που έχουμε τα fractal αντικείμενα η τοπολογική διάσταση αδυνατεί να τα κατηγοριοποιήσει και να προσδιορίσει το μέγεθός τους. Για το λόγο αυτό έχουν ορισθεί άλλες διαστάσεις με σημαντικότερες τη Hausdorff διάσταση και τη διάσταση Box με τις οποίες ασχολούμαστε εκτενώς στην παρούσα εργασία. Αυτές οι διαστάσεις έχουν ως τιμές μη αρνητικούς αριθμούς και δεν είναι ποτέ μικρότερες από την τοπολογική διάσταση των αντικειμένων. Η fractal γεωμετρία και τα fractal σύνολα αποτελούν μια από τις σημαντικότερες μεθόδους για την μοντελοποιήση των πολύπλοκων φαινομένων που συναντάμε στην φύση και όχι μόνο. Ωστόσο, περιορισμένος αριθμός μεθόδων είναι διαθέσιμος και λειτουργικός για την κατασκευή των fractals. Τα συστήματα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (ΣΕΣ) αποτελούν μια τέτοια μέθοδο και ορίζονται ως μια ομάδα γραμμικών απεικονίσεων συστολής(contractions). Κάθε τέτοιο σύστημα αντιστοιχίζεται σε ένα σύνολο το οποίο ονομάζεται ελκυστής (attractor) του ΣΕΣ και είναι συνήθως fractal. Κάθε fractal σύνολο προκύπτει από διαδοχικές εφαρμογές των απεικονίσεων σε ένα αρχικό σχήμα. Βασικά και ευρέως γνωστά παραδείγματα τα οποία προκύπτουν από αυτήν την διαδικασία είναι το σύνολο του Cantor, η καμπύλη von Koch και άλλα στα οποία θα αναφερθούμε με λεπτομέρια σε αυτή την εργασία. Στο τέλος αυτής της πτυχιακής εργασίας αναφερόμαστε στα σύνολα Julia και Mandelbrot. Τα σύνολα Julia περιγράφηκαν πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Maurice Julia το 1918 και είναι ένα παράδειγμα για το πώς μερικές απλές επαναληπτικές διαδικασίες μπορεί να οδηγήσουν σε τόσο περίπλοκα σύνολα και αποτελέσματα. Από απλές συναρτήσεις του μιγαδικού επιπέδου προκύπτουν fractals τα οποία έχουν μια "εξωπραγματική" εμφάνιση. Τα σύνολα Julia εμφανίζονται με την επαναλαμβανόμενη σύνθεση μιας συνάρτησης f μιας μιγαδικής μεταβλητής και με αυτό τον τρόπο συνδέονται και με τα δυναμικά συστήματα. Έπρεπε να περάσουν 60 ολόκληρα χρόνια από την μελέτη του Julia για να γίνουν ευρύτερα γνωστά χάριν κυρίως στον Benoit Mandelbrot, που εκμεταλλεύτηκε τις μεγάλες δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών για να αναδείξει την πολυπλοκότητα τους. Ο Mandelbrot στηριζόμενος στις μελέτες του Fatou και Julia ανακάλυψε ένα από τα πιο σπουδαία και εντυπωσιακά fractals, το οποίο πήρε και το όνομα του. Το σύνολο του Mandelbrot θεωρείται ίσως το πιο πολύπλοκο και συναρπαστικό σχήμα των Μαθηματικών του περασμένου αιώνα που αναμένεται να απασχολήσει την επιστήμη της Πολυπλοκότητας για πολλά χρόνια. Πρόκειται για μια απίστευτα ενδιαφέρουσα "Μυστηριώδη Νήσο" με άπειρες χερσονήσους και ατελείωτους κολπίσκους που κρύβουν μυστικά που καμία μαθηματική θεωρία δεν υπήρχε να τα προβλέψει.