Reverse mathematics: Ανάστροφα μαθηματικά: από τα αξιώματα στα θεωρήματα

Abstract

Τα ανάστροφα μαθηματικά είναι ένα νέο πεδίο των μαθηματικών που απαντά σε κάποια “παλιά” ερωτήματα. Ανάμεσα στα δυο χιλιάδες χρόνια όπου οι μαθηματικοί αποδίδουν θεωρήματα από αξιώματα, συχνά υπάρχει το ερώτημα: ποια αξιώματα χρειάζονται ώστε να αποδείξουμε ένα δοσμένο θεώρημα; Μόνο, τα τελευταία διακόσια χρόνια έχουν απαντηθεί τέτοιου είδους ερωτήσεις και μόνο τα τελευταία σαράντα χρόνια έχει αναπτυχθεί μια συστηματική προσέγγιση πάνω σε αυτό. Έτσι, στα ανάστροφα μαθηματικά αντί να αναζητούμε τις συνέπειες ενός δοσμένου αξιώματος, αναζητούμε τα κατάλληλα αξιώματα που χρειάζονται για να αποδείξουμε δοσμένα θεωρήματα. Το κριτήριο για ένα αξίωμα να είναι κατάλληλο εκφράστηκε από τον Harvey Friedman, θεμελιωτή των ανάστροφων μαθηματικών, το 1975: When the theorem is proved from the right axiom, the axioms can be proved from the theorem. (Όταν ένα θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί από το κατάλληλο αξίωμα, τότε το αξίωμα μπορεί να αποδειχθεί από το θεώρημα αυτό.) Η αναζήτηση, λοιπόν, αυτών των αξιωμάτων μας ταξιδεύει πίσω στην Ευκλείδεια εποχή και το αξίωμα των παραλλήλων. Για πολλά χρόνια, το αξίωμα αυτό δίχαζε την μαθηματική κοινότητα για την χρησιμότητα του στην απόδειξη θεωρημάτων, όπως για παράδειγμα το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πάρα όλα αυτά στην γεωμετρία, το αξίωμα των παραλλήλων είναι το κατάλληλο αξίωμα για την απόδειξη πολλών ευκλείδειων θεωρημάτων. Βλέποντας το αξίωμα των παραλλήλων αλλά και το αξίωμα της επιλογής από την θεωρία συνόλων παρατηρούμε ότι και τα δύο αυτά αξιώματα ενστερνίζονται την ιδέα των ανάστροφων μαθηματικών. Έτσι ανάμεσα σε δύο σημαντικούς κλάδους των μαθηματικών δηλαδή την γεωμετρία και την θεωρία συνόλων βρίσκεται η θεωρία των πραγματικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί, έτσι όπως τους αντιλαμβανόμαστε σήμερα, προέκυψαν από τις προσπάθειες να αριθμητικοποιηθεί η ανάλυση και η γεωμετρία. Κατασκευάζοντας πραγματικούς αριθμούς από σύνολα ρητών αριθμών είναι εφικτό να κωδικοποιήσουμε ακολουθίες από πραγματικούς αριθμούς και συνεχής συναρτήσεις από σύνολα πραγματικών αριθμών. Έτσι αριθμητικοποείται η ανάλυση και τα βασικά θεωρήματα της ανάλυσης. Ύστερα, διερωτόμαστε ποια αξιώματα χρειαζόμαστε για να αποδείξουμε αυτά τα βασικά θεωρήματα; Η απάντηση στο περίπου είναι ένα σύνολο από αξιώματα των φυσικών αριθμών ( PEANO ) αλλά και ένα σύνολο από αξιώματα ύπαρξης. Το σύνολο από αξιώματα ύπαρξης εμφανίζεται σε διάφορες μορφές ισχύος, που εξαρτώνται από την ισχύ των θεωρημάτων που θέλουμε να αποδείξουμε. Το πιο ασθενές σε ισχύ είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με τα θεμέλια της υπολογισιμότητας: μας επιβεβαιώνει την ύπαρξη των υπολογίσιμων συνόλων. Αυτό το αξίωμα μας βοηθά να μελετήσουμε έννοιες της υπολογισιμότητας που εμφανίζονται σε προβλήματα της ανάλυσης διότι και η ανάλυση και η υπολογισιμότητα ξεκινούν από μία κοινή βάση, την αριθμητική. Μετά από μία ανεπίσημη εισαγωγή στην υπολογισιμότητα θα αναπτύξουμε προσεκτικά την έννοια του υπολογισμού και της αριθμητικοποίησης του στο κεφάλαιο 4. Τελικό αλλά εξίσου σημαντικό είναι η συγκέντρωση των ιδεών της ανάλυσης και της αριθμητικής σε κάποια συστήματα αξιωμάτων, γνωστά ως RCA0, WKL0 και ACA0. Αυτά τα συστήματα αποδεικνύουν κάποια από τα πιο βασικά θεωρήματα της ανάλυσης. Σημειωτέον, ταξινομούν τα βασικά θεωρήματα σε τρία επίπεδα αφού τα περισσότερα θεωρήματα είναι ισοδύναμα με τα αξιώματα που τα αποδεικνύουν, όπως είπαμε και στην αρχή. θα δούμε, για παράδειγμα, ότι το αξίωμα RCA0 μπορεί να αποδείξει το θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής ενώ το χαρακτηριστικό αξίωμα WKLO0 μπορεί να αποδείξει το Heine- Borel θεώρημα και τέλος το αξίωμα ACA0 μπορεί να αποδείξει το κριτήριο της ακολουθίας Cauchy και το Bolzano-Weirstrass Θεώρημα. Έτσι, στα ”ανάστροφα μαθηματικά” συναντάμε τα συνήθης χαρακτηριστικά από ένα εισαγωγικό μάθημα στην πραγματική ανάλυση, αλλά σε μία εντελώς καινούργια εκδοχή.