Βασικές έννοιες από την κβαντική θεωρία πληροφορίας

Abstract

Στην εργασία αυτή ασχολούμαστε με μαθηματικές έννοιες που αφορούν στις βασικές έννοιες της κβαντικής θεωρίας πληροφορίας. Το πρώτο κεφάλαιο συγκεντρώνει έννοιες από τη Γραμμική Άλγεβρα και τη Θεωρία Τελεστών. Μας ενδιαφέρουν οι μιγαδικοί Ευκλείδειοι χώροι με εσωτερικό γινόμενο και νόρμα, το ευθύ τους άθροισμα και το τανυστικό τους γινόμενο. Μελετάμε τους γραμμικούς τελεστές και το τανυστικό τους γινόμενο, που είναι βασική έννοια για την κβαντική θεωρία γενικότερα. Οι πιο σημαντικές έννοιες του κεφαλαίου είναι οι κλάσεις των τελεστών (π.χ. Κανονικοί, Θετικά ορισμένοι, Θετικά ημιορισμένοι), οι απεικονίσεις μεταξύ χώρων τελεστών και το φασματικό θεώρημα. Το δεύτερο κεφάλαιο απαρτίζεται από έννοιες της Ανάλυσης. Ασχολούμαστε με τα κυρτά σύνολα και τους κώνους. Στο τρίτο κεφάλαιο της εργασίας ξεκινάμε να ασχολούμαστε με κάποιες από τις βασικές έννοιες της κβαντικής θεωρίας πληροφορίας. Βλέπουμε τι είναι μια κβαντική κατάσταση και πως αυτό «μεταφράζεται» στο μαθηματικό φορμαλισμό. Ξεκινάμε το κεφάλαιο μελετώντας πως από ένα register κατασκευάζεται ο χώρος των κβαντικών καταστάσεων. Μαθαίνουμε τις βασικές κβαντικές καταστάσεις που θα χρησιμοποιήσουμε στην εργασία όπως, τις pure καταστάσεις και τις καταστάσεις γινόμενο. Στο τέταρτο κεφάλαιο, αναλωνόμαστε στη μελέτη άλλης μίας βασικής έννοιας, αυτής του κβαντικού καναλιού. Γενικά, θα λέγαμε ότι, ένα κβαντικό κανάλι είναι το κανάλι μέσω του οποίου μεταδίδεται η κβαντική πληροφορία. Από τη μαθηματική σκοπιά, ένα κβαντικό κανάλι είναι μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ δύο χώρων τετραγωνικών τελεστών, η οποία επιπλέον είναι πλήρως θετική απεικόνιση που διατηρεί το ίχνος των τελεστών. Έτσι, βλέπουμε μερικά θεωρήματα για τον χαρακτηρισμό των πλήρως θετικών απεικονίσεων που μας βοηθούν στην συνέχεια και στον χαρακτηρισμό των κβαντικών καναλιών. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό, θα ασχοληθούμε με μερικές από τις αναπαραστάσεις των κβαντικών καναλιών όπως η Choi αναπαράσταση, η Krauss αναπαράσταση και άλλες. Το κεφάλαιο τελειώνει με παραδείγματα κβαντικών καναλιών. Στο πέμπτο, και τελευταίο κεφάλαιο, μας απασχολεί η μέτρηση πάνω σε μία κβαντική κατάσταση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η μέτρηση πάνω στην EPR κατάσταση. Ερχόμαστε σε μία πρώτη γνωριμία με την Alice και τον Bob, δύο φανταστικά πρόσωπα οι οποίοι παίζουν το ρόλο δυο ανεξάρτητων παρατηρητών του ίδιου κβαντικού φαινομένου. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, η εργασία επιστεγάζεται με το παράδειγμα της κβαντικής τηλεμεταφοράς.

In this thesis we deal with mathematical concepts concerning the basic concepts of quantum information theory. The first chapter brings together concepts from Linear Algebra and Operator Theory. We are interested in complex Euclidean spaces with inner product and norm, their direct sum and their tensor product. We study linear operators and their tensor product, which is a basic concept for quantum theory in general. The most important parts of the chapter are the classes of operators (e.g. Normal, Positive Definite, Positive Semidefinite, Density), the maps between operator spaces, and the spectral theorem. The second chapter consists of notions from Analysis. We deal with convex sets and cones. In the third chapter of the thesis we start dealing with some of the basic concepts of quantum information theory. We see what a quantum state is and how is that formalized in mathematics. We begin the chapter by studying the construction of the space of quantum states, by a register. We learn the basic quantum states that we will use, such as pure states and product states. In the fourth chapter, we are consumed in the study of another basic concept, that of a quantum channel. In general, we would say that a quantum channel is the channel through which quantum information is transmitted. From the mathematical point of view, a quantum channel is a linear map between two spaces of square operators, which moreover is a fully positive map that preserves the trace of operators. Thus, we see some theorems for the characterization of fully positive maps that help us with the characterization of quantum channels. Also, in this chapter, we will deal with some of the representations of quantum channels such as Choi representation, Krauss representation and others. The chapter ends with examples of quantum channels. In the fifth, and final chapter, we are concerned with the measurement of a quantum state. A typical example is the measurement on the EPR state. We come to a first acquaintance with Alice and Bob, two imaginary persons who play the role of two independent observers of the same quantum phenomenon. Combining the above, this thesis reaches an end with the example of quantum teleportation.