Ομάδες πινάκων: άλγεβρα και γεωμετρία

Abstract

Από το Θεώρημα του Frobenius, υπάρχουν ακριβώς τρεις πραγματικές, προσεταιριστικές άλγεβρες, πεπερασμένης διάστασης, χωρίς διαιρέτες του μηδενός: οι πραγματικοί, οι μιγαδικοί και τα τετρακτόνια. Παρουσιάζεται η δομή ομάδων πινάκων, μικρής διάστασης, με συντελεστές στους παραπάνω δακτυλίους και χρησιμοποιούνται αλγεβρικά και γεωμετρικά μέσα για να τις συγκριθούν και να βρεθούν οι μεταξύ τους σχέσεις. Πραγματοποιείται η μελέτη των πινάκων με συνελεστές πάνω από σώματα ή δακτύλιους με διαίρεση. Η προσέγγισή είναι διπλή. Από την μια μεριά μελετώνται οι αλγεβρικές τους ιδιότητες. Από την άλλη, οι ομάδες πινάκων θα θεωρηθούν ως ομάδες συμμετρίας κάποιων αλγεβρικών ή γεωμετρικών δομών. Δηλαδή θα είναι απεικονίσεις (που αναπαρίστανται με πίνακες) που θα διατηρούν αποστάσεις, εσωτερικά γινόμενα και, κάποιες φορές, αλγεβρικές δομές. Έπειτα, οι ομάδες συγκρίνονται μέσω κατασκευής ομομορφισμών μεταξύ τους. Και πάλι οι ομομορφισμοί θα έχουν διπλό ορισμό. Από την μια αλγεβρικό και από την άλλη θα δώσουμε έναν γεωμετρικό ορισμό. Στο τέλος θα παρουσιάζονται τις άλγεβρες Clifford που είναι γενικεύσεις αυτών των αλγεβρών και θα μελετήσουμε τις αντίστοιχες ομάδες πινάκων.