Various techniques for the study of epidemic models

Abstract

Η αβεβαιότητα είναι ένα βασικό χαρακτηριστικό στην καθημερινή πραγματικότητα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών. Για παράδειγμα, σε ένα πολυκατάστημα, οι ημερήσιες απαιτήσεις των πελατών για ένα συγκεκριμένο προϊόν διαφέρουν από μέρα σε μέρα. Σε ιδιωτική τηλεφωνική εταιρεία, οι κλήσεις των πελατών για βοήθεια λόγω πιθανών αστοχιών δικτύου φτάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο με απρόβλεπτη συχνότητα. Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, τα προβλήματα που προκύπτουν και οι ακριβείς χρόνοι επίλυσής τους, δεν μπορούν να προβλεφθούν εκ των προτέρων. Η αβεβαιότητα φαίνεται να είναι ένα αναπόφευκτο χαρακτηριστικό. Ο ερευνητής βρίσκεται αντιμέτωπος με μια απόφαση. Τα διάφορα στοχαστικά μοντέλα που κατασκευάζονται χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση και την αξιολόγηση των αποφάσεων των ερευνητών σε περιπτώσεις όπου η αβεβαιότητα είναι τόσο σημαντική που δεν μπορεί να αγνοηθεί. Στην περίπτωση του πολυκαταστήματος, οι ερευνητές θα προτείνουν στον ιδιοκτήτη εναλλακτικούς κανόνες για την παραγγελία του προϊόντος. Στην περίπτωση μιας τηλεφωνικής εταιρείας, ο ερευνητής πρέπει να κατανέμει σωστά το προσωπικό υποστήριξης της εταιρείας για να ικανοποιήσει όλους τους πελάτες που διαμαρτύρονται. Πρέπει λοιπόν να πάρει μια απόφαση που θα βοηθήσει στη βέλτιστη λειτουργία της εταιρείας. Στην περίπτωση του κέντρου υπολογιστών, ο ερευνητής θα πρέπει να αποτρέψει τη συμφόρηση του συστήματος όσο το δυνατόν περισσότερο, λαμβάνοντας κρίσιμες αποφάσεις. Για την εταιρεία κατασκευής προϊόντων, ο ερευνητής καλείται να προτείνει βέλτιστους κανόνες για την προληπτική συντήρηση ή επισκευή του Μηχανήματος. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, παρατηρείται ότι η αβεβαιότητα μπορεί να διαχειριστεί από τον εκάστοτε ερευνητή. Η εισαγωγή της αβεβαιότητας σε ένα μαθηματικό μοντέλο συχνά αυξάνει την πολυπλοκότητά του. Κατά τον 20ο αιώνα, η ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας των στοχαστικών μοντέλων επέτρεψε μια πληρέστερη ανάλυση. Η Επιχειρηματική Έρευνα είναι μια από τις εφαρμοσμένες επιστήμες στις οποίες τα στοχαστικά μοντέλα παίζουν κυρίαρχο ρόλο. Πληροφορική, Οικονομία, Βιολογία, Οικολογία, Ιατρική εξακολουθούν να είναι μερικά επιστημονικά πεδία 78 στα οποία τα στοχαστικά μοντέλα έχουν πλέον κεντρική θέση. Οι κύριοι στόχοι του μαθήματος Στοχαστικής Μοντελοποίησης είναι: (α) Να μεταδώσει τις κεντρικές ιδέες της Στοχαστικής Μοντελοποίησης και να δείξει πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διάφορα μοντέλα σε κυρίως εφαρμοσμένο αλλά και σε θεωρητικό επίπεδο. (β) Να αποκαλυφθεί η αλληλεπίδραση δύο επιστημονικών περιοχών που συνήθως παρουσιάζονται ως ξεχωριστές «συστάδες» της Επιστήμης: Στοχαστικές Διαδικασίες και Στοχαστική Μοντελοποίηση. (γ) Να αναδείξει τη σημασία των στοχαστικών μοντέλων μέσα από την κατασκευή και ανάλυσή τους σε διάφορα επιστημονικά πεδία. Συνοψίζοντας, σε αυτή τη διατριβή μελετήσαμε την επίδραση των αλλαγών στις τιμές των παραμέτρων στη συνάρτηση βέλτιστου κόστους και στη βέλτιστη ενέργεια για Μη Φαρμακευτικές Παρεμβάσεις (NPIs), πρώτα για μια πολιτική απομόνωσης και στη συνέχεια για μια πολιτική απομόνωσης παράλληλα με τη γενική ανοσοποίηση του ο πληθυσμός. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι εάν η κατάσταση (s, i) της διεργασίας είναι γνωστή, τότε για να προσδιοριστεί η βέλτιστη ενέργεια δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ακριβή τιμή του σχετικού ρυθμού απομόνωσης, αλλά μόνο να γνωρίζουμε εάν το ρ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από την τιμή ρ0 (s, i).

Uncertainty is a key feature in the day-to-day reality of various companies and organizations. For example, in a department store, customers' daily requirements for a particular product vary from day to day. In a private telephone company, customers' calls for help due to possible network failures reach the call center with unforeseen frequency. In each of the above cases, the problems that arise and the exact times of their solution, can not be predicted in advance. Uncertainty seems to be an inevitable feature. The researcher is faced with a decision. The various stochastic models constructed are used to compare and evaluate researchers' decisions in cases where uncertainty is so significant that it cannot be ignored. In the case of the department store, the researchers will suggest to the owner alternative rules for ordering the product. In the case of a telephone company, the researcher must properly distribute the company's support staff to satisfy all complaining customers. He must therefore make a decision that will help the optimal operation of the company. In the case of the computer center the researcher should prevent the congestion of the system as much as possible by making critical decisions. For the product manufacturing company, the researcher is invited to propose optimal rules for preventive maintenance or repair of the Machinery. In all the above cases, it is observed that the uncertainty can be managed by the respective researcher. The introduction of uncertainty into a mathematical model often increases its complexity. During the 20th century, the development of mathematical theory of stochastic models allowed for a more complete analysis. Business Research is one of the applied sciences in which stochastic models play a dominant role. Informatics, Economics, Biology, Ecology, Medicine are still some scientific fields 78 in which stochastic models are now central. The main objectives of the Stochastic Modeling Course are: (a) To transmit the central ideas of Stochastic Modeling and to show how they can be used in various models at a mainly applied but also at a theoretical level. (b) To reveal the interaction of two scientific areas that are usually presented as separate "clusters" of Science: Stochastic Processes and Stochastic Modelization. (c) To highlight the importance of stochastic models through their construction and analysis in various scientific fields. To summarize, in this thesis we have studied the effect of changes in parameter values on the optimal cost function and the optimal energy for Nonpharmaceutical Interventions (NPIs), first for an isolation policy and then for an isolation policy in parallel with the general immunization of the population. The results show that if the state (s, i) of the process is known, then to determine the optimal energy it is not necessary to know the exact value of the relative isolation rate, ρ but only to know if ρ is greater or less than the value ρ0 (s, i).