Οι αντιλήψεις των μαθητών της υποχρεωτικής εκπαίδευσης για την έννοια του απείρου

Abstract

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή επιχειρείται η προσέγγιση της έννοιας του απείρου μέσα από τη διαισθητική αντίληψη των μαθητών/τριών του δημοτικού σχολείου και η πραγματοποίηση μαθηματικών δραστηριοτήτων με στόχο την απόκτηση σαφέστερης αντίληψης για το άπειρο. Ερευνούνται οι δύο όψεις του απείρου ως αντικείμενο, ‘‘πραγματικό άπειρο’’ και ως διαδικασία, ‘‘δυνητικό άπειρο’’, με εφαρμογές μέσα από το ‘‘άπειρο μεγάλο’’, το ‘‘άπειρο μικρό’’ και το ‘‘άπειρο πολλά’’. Σκοπός της έρευνας είναι η διαμόρφωση μιας τροχιάς μάθησης για το μαθηματικό άπειρο με δραστηριότητες που θα ανταποκρίνονται στα διαφορετικά επίπεδα της σκέψης των μαθητών/τριών. Καθώς δεν υπάρχουν έρευνες στην εκπαίδευση με σκοπό το σχεδιασμό μιας τροχιάς μάθησης. Ο σχεδιασμός μιας μαθησιακής τροχιάς για το άπειρο για μαθητές του δημοτικού σχολείου είναι η πρωτοτυπία της συγκεκριμένης εργασίας. Η μέθοδος έρευνας που χρησιμοποιήσαμε βασίζεται στην αναπτυξιακή έρευνα (developmental research, Gravemeijer 1998). Η αναπτυξιακή έρευνα εστιάζει στην διαμόρφωση προγραμμάτων σπουδών μέσω εκπαιδευτικής έρευνας στην οποία η ανάπτυξη εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων χρησιμοποιείται ως μέσο πειραματισμού και ελέγχου μιας εκπαιδευτικής θεωρίας. Το ερευνητικό κομμάτι της διατριβής περιλαμβάνει δύο μέρη: στο πρώτο μέρος πραγματοποιήθηκαν η α΄ και β΄ πιλοτική καθώς και η πρώτη φάση της κύριας έρευνας και στο δεύτερο μέρος πραγματοποιήθηκαν οι μαθηματικές δραστηριότητες όπως αυτές σχεδιάστηκαν με βάση τα αποτελέσματα των ερευνών. Η έρευνα διαμορφώθηκε αφού μελετήθηκε η ιστορική αναδρομή της έννοιας του απείρου και των σχετικών μαθηματικών παραδόξων μέχρι τη μαθηματικοποίηση της έννοιας του απείρου από τον G.Cantor, όπως παρουσιάζεται στο πρώτο κεφάλαιο, καθώς και προηγούμενες έρευνες για το άπειρο που πραγματοποιήθηκαν στις βαθμίδες της εκπαίδευσης, όπως παρουσιάζονται στο δεύτερο κεφάλαιο. • Μέσω της διατριβής αναδείχτηκε μια τροχιά μάθησης για την έννοια του μαθηματικού απείρου από πιο απλές ιδέες σε πιο σύνθετες, δημιουργώντας τρεις κατηγορίες δραστηριοτήτων για την διαχείριση όψεων του απείρου ώστε οι μαθητές/τριες του δημοτικού να βελτιώσουν τις αυθόρμητες διαισθήσεις τους για το άπειρο. • Η πρώτη κατηγορία που μπορεί να ανταποκρίνεται στα παιδιά μικρής ηλικίας είναι το ‘‘άπειρο μεγάλο’’ με τη βοήθεια ενός αριθμητικού πλαισίου. • Η δεύτερη κατηγορία ανταποκρίνεται επίσης στο ‘‘άπειρο μεγάλο’’ αλλά μέσα από μια γεωμετρική αναπαράσταση μέσω της οποία οι μαθητές/τριες έχουν τη δυνατότητα να αντιληφθούν την αντιστοίχιση 1 προς 1 ως μέθοδο σύγκρισης απειροσυνόλων. • Η τρίτη κατηγορία ανταποκρίνεται στο ‘‘άπειρο μεγάλο’’ μέσα από ένα συνδυασμό πλαισίων, αριθμητικού και γεωμετρικού που δίνει τη δυνατότητα στους/στις μαθητές/τριες να συνδυάσουν αριθμητικά με γεωμετρικά δεδομένα και να εξοικειωθούν με την 1 προς 1 αντιστοίχιση, η οποία υποδεικνύεται ως μοναδικό κριτήριο για τη σύγκριση αριθμήσιμων απειροσυνόλων.