Martingales και εφαρμογές

Abstract

Στην παρούσα πτυχιακή εργασία έγινε µία έρευνα σχετικά µε τα Martingales και τις εφαρμογές τους. Αρχικά, κάναμε µια επισκόπηση σε χρήσιµες έννοιες από την θεωρία Μέτρου και την θεωρία Πιθανοτήτων όπως, η σ-άλγεβρα, ο χώρος πιθανότητας και η δεσµευµένη µέση τιµή. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών και αναλύεται η θεωρία των Μαρκοβιανών αλυσίδων πραγµατοποιώντας µια αναφορά στην ταξινόµηση καταστάσεων και στις αλυσίδες Markov σε συνεχή χρόνο. Κατόπιν, µελετάµε τις στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου, δίνοντας τον γενικό ορισµό τους και δύο παραδείγµατα όπως είναι η στοχαστική ανέλιξη Poisson και οι στοχαστικές ανελίξεις Γεννήσεως - Θανάτου. Παρουσιάζουµε την θεωρία της Κίνηση Brown και κάνουµε αναφορά σε κάποιες από τις παραλλαγές της. Στα δύο τελευταία κεφάλαια, µελετάµε την θεωρία των Martingales και τον τρόπο που κατατάσσονται σε Martingales διακριτού και συνεχούς χρόνου. Καταλήγουµε αναφέροντας κάποιες εφαρµογές που επιλύονται µε την βοήθεια των Martingales.