New developments on modelling techniques for dynamical systems with applications

Abstract

Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Στόχος της, είναι η κάλυψη του κενού στη βιβλιογραφία όσον αφορά τη μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων που αφορούν δεδομένα επίπτωσης. Τα δυναμικά συστήματα έχουν τη μοναδική ικανότητα να συνδυάζουν πολλά (αλληλεπιδρώντα) κομμάτια, οδηγώντας στη δημιουργία μιας νέας «όλα σε ένα» συμπεριφοράς. Αυτή η συνειδητοποίηση, δηλαδή ότι η συνολική συμπεριφορά ενός συστήματος δεν μπορεί να γίνει κατανοητή μελετώντας μόνο τη συμπεριφορά των επιμέρους συστατικών του, δημιούργησε μια πληθώρα νέων εννοιών και μαθηματικών εργαλείων. Ως αποτέλεσμα, η ανάπτυξη ενός δυναμικού μοντέλου δεν είναι εύκολη υπόθεση, καθώς το τελευταίο θα πρέπει να μπορεί να περιγράψει με επαρκή τρόπο τα χαρακτηριστικά της υπό μελέτη διαδικασίας. Η παρούσα διατριβή στοχεύει στο να προσφερθούν νέες προοπτικές στον τομέα της δυναμικής μοντελοποίησης προτείνοντας νέα, ακριβή, ευέλικτα και εύκολα εφαρμόσιμα μοντέλα και τεχνικές μοντελοποίησης. ́Ετσι, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εκτενής εισαγωγή στο αντικείμενο μελέτης της διατριβής παρουσιάζοντας όλες τις απαιτούμενες ορολογίες. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής παρουσίαση όλων των απαραίτητων εργαλείων και μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν στα μετέπειτα κεφάλαια για την ανάπτυξη νέων καινοτόμων τεχνικών μοντελοποίησης δεδομένων επίπτωσης. Στο κεφάλαιο τρία εξετάζεται η γενική μορφή καθώς και ειδικές περιπτώσεις περιοδικών αυτοπαλίνδρομων μοντέλων με σκοπό τη μοντελοποίηση δεδομένων επίπτωσης που αφορούν τα εβδομαδιαία εκτιμώμενα ποσοστά ασθενειών τύπου γρίπης στην Ελλάδα για την περίοδο 2014-2016. Στο τέταρτο κεφάλαιο επιχειρούμε να αποτυπώσουμε τη συμπεριφορά τόσο των μη ακραίων όσο και των ακραίων περιόδων που εμφανίζονται σε δεδομένα επίπτωσης. Το κεφάλαιο πέντε απαρτίζεται από δύο συγκριτικές μελέτες. Η πρώτη έχει ως στόχο την αξιολόγηση της προβλεπτικής ικανότητας του μοντέλου που προτείνεται στο κεφάλαιο τρία σε αντιπαραβολή με εναλλακτικά μοντέλα που σχετίζονται με τη μοντελοποίηση της νοσηρότητας της γρίπης. Στη δεύτερη, εφαρμόσαμε και αξιολογήσαμε πρωτοπόρες μεθόδους που βασίζονται στην ανάλυση σημείων αλλαγής για τον εντοπισμό αλλαγών σε δεδομένα τύπου γρίπης. Στο έκτο κεφάλαιο προτείνεται μια επέκταση του Μαρκοβιανού εναλλασσόμενου μοντέλου. Τα συστατικά του επιλέγονται με τεχνικές ποινικοποιημένης πιθανότητας με στόχο την επίτευξη υψηλού βαθμού ευρωστίας όσον αφορά τη μοντελοποίηση των δυναμικών συμπεριφορών των επιδημιολογικών δεδομένων. Στο κεφάλαιο εφτά επιθυμούμε να ξεκινήσουμε τη διερεύνηση μιας «φυσικής» επέκτασης της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, δηλαδή τη χρήση ημι-Μαρκοβιανών εναλλασσόμενων μοντέλων για τη μοντελοποίηση δεδομένων επίπτωσης. Ως αποτέλεσμα, σε αυτό το κεφάλαιο ορίζουμε το διακριτού χρόνου ημι-Μαρκοβιανό εναλλασσόμενο μοντέλο δεσμευμένου μέσου με συμμεταβλητές. Θα πρέπει να σημειωθεί ωστόσο, ότι η μελέτη που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο βρίσκεται υπό εξέλιξη. Η διδακτορική διατριβή ολοκληρώνεται με σύντομη συζήτηση σχετικά με τα ευρή-ματα καθώς και τις πιθανές επεκτάσεις της.

This PhD thesis is conducted at the Department of Statistics and Actuarial- Financial Mathematics of the University of the Aegean. Its goal is to fill in the gap in the literature regarding the modelling of dynamical systems from the incidence data point of view. To that end, at first the state-of-the-art alongside the materials and methods required are presented and fully discussed. Then, several novel models and innovative methodologies for capturing the behavior of incidence data are proposed and fully investigated, accompanied by useful comparative studies, for practical purposes. Finally, we conclude with a short discussion on the findings of this PhD thesis.