Εισαγωγή στην τοπικοποίηση μεταθετικών δακτυλίων

Abstract

Αρχικά παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία από τη θεωρία των μεταθετικών δακτυλίων που είναι απαραίτητα, προκειμένου να αναπτυχθεί στη συνέχεια η θεματική της τοπικοποίησης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται αναλυτικά η κατασκευή του σώματος κλασμάτων μιας ακέραιας περιοχής. Η διαδικασία της κατασκευής του σώματος κλασμάτων γενικεύεται ώστε κάθε μεταθετικός δακτύλιος να είναι υποδακτύλιος ενός μεγαλύτερου δακτυλίου τέτοιου ώστε κάθε μη μηδενικό στοιχείο του, που δεν είναι επίσης και διαιρέτης του μηδενός να είναι μονάδα. Η τοπικοποίηση αποτελεί γενίκευση της κατασκευής των σώματος κλασμάτων με αφετηρία όμως ένα μεταθετικό δακτύλιο και όχι απαραίτητα μια ακέραια περιοχή. Η γενίκευση αυτή μπορεί να θεωρηθεί από τη σκοπιά μιας καθολικής κατασκευής, η οποία αποτελεί λύση για το ακόλουθο πρόβλημα: δοθέντος ενός μεταθετικού δακτυλίου και ενός υποσυνόλου του, θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν άλλο δακτύλιο όπως και έναν ομομορφισμό από τον αρχικό δακτύλιο στον νέο, έτσι ώστε το ζεύγος που αποτελείται από τον νέο αυτό δακτύλιο και τον ομομορφισμό να είναι μοναδικό ανάμεσα σε τέτοια ζεύγη.