Διάδοση ακουστικών κυμάτων και εφαρμογές

Abstract

Στην πτυχιακή αυτή, θα κάνουμε μία εισαγωγή στη διάδοση ακουστικών κυμάτων και θα μελετήσουμε κάποια βασικά προβλήματα σκέδασης. Τα προβλήματα σκέδασης προκύπτουν όταν ένα κύμα στέλνεται προς ένα εμπόδιο, τον σκεδαστή. Τέτοιου είδους προβλήματα έχουν πολλές εφαρμογές σε διάφορες επιστήμες. Για παράδειγμα, στην χρήση των ραντάρ για ανίχνευση αεροπλάνων, σε τομογραφίες για αναζήτηση όγκων, ή ακόμη και στην αναζήτηση κοιτασμάτων πετρελαίου. Αρχικά, στα κεφάλαια 2 και 3, θα μοντελοποιήσουμε εξισώσεις που περιγράφουν τη διάδοση ακουστικών κυμάτων και θα επεκταθούμε σε μοντέλα μονοδιάστατων συνεχών μέσων. Με την βοήθεια των περιγραφών κατά Euler και κατά Lagrange, επίσης, θα διατυπώσουμε το νόμο διατήρησης. Στην συνέχεια, στο κεφάλαιο 4 θα επεκταθούμε στον χώρο R3, δηλαδή στις τρεις διαστάσεις. Μέσω της εξίσωσης της συνέχειας και της εξίσωσης του Euler, θα κατασκευάσουμε την κυματική εξίσωση και την εξίσωση Helmholtz και τέλος, θα αναφέρουμε κάποιες βασικές λύσης της. Από το κεφάλαιο 5 και έπειτα, θα ασχοληθούμε με προβλήματα σκέδασης. Παρουσιάζονται αναλυτικά οι συνοριακές συνθήκες, οι οποίες εξαρτώνται από τις φυσικές ιδιότητες του σκεδαστή καθώς και η συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfeld, η οποία αποτελεί μία συνθήκη στο άπειρο, εξασφαλίζει, δηλαδή, την εξασθένηση του κύματος καθώς αυτό απομακρύνεται από τον σκεδαστή. Επιπλέον, διατυπώνονται τα θεωρήματα ολοκληρωτικής αναπαράστασης για τις εσωτερικές και εξωτερικές λύσεις της εξίσωσης Helmholtz. Οι ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις αυτές, θα φανούν πολύ χρήσιμες στα παρακάτω κεφάλαια. Στο κεφάλαιο 6, θα διατυπώσουμε θεωρήματα για την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων με την χρήση του δυναμικού απλού και διπλού στρώματος και μετασχηματίζοντας τα προβλήματα σκέδασης σε ολοκληρωτικές εξισώσεις διατυπώνουμε κάποια θεωρήματα που είναι πολύ χρήσιμα στην απόδειξη μοναδικότητας της λύσης. Στο κεφάλαιο 7 γίνεται συνοπτικά μία αναφορά σε κάποια θεωρήματα σκέδασης, τα οποία έχουν πολλές εφαρμογές σε διάφορα προβλήματα. Τέλος, στο κεφάλαιο 8 παρουσιάζουμε την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων, η οποία βοηθά στην επίλυση προβλημάτων σκέδασης και αφορά προβλήματα μεγάλου μήκους κύματος. Με βάση αυτή την θεωρία, μετασχηματίζουμε τα προβλήματα σε αναπτύγματα δυναμοσειρών. Έτσι, προκύπτει ένα πρόβλημα θεωρίας δυναμικού, τα οποία μπορούν να λυθούν σε σφαιρικά ή ελλειψοειδή συστήματα αξόνων.