Η θεωρία του Floquet για γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές

Abstract

Σε αυτή την πτυχιακή εργασία, παρουσιάζουμε τη Θεωρία του Floquet η οποία αποτελεί μια αποτελεσματική μέθοδο επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με περιοδικούς συντελεστές. Η διατριβή συνδυάζει στοιχεία από διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών, γεγονός που γίνεται αντιληπτό στο πρώτο κεφάλαιο όπου παραθέτουμε ορισμούς και θεωρήματα (με απόδειξη ή χωρίς) που είναι απαραίτητα στη μελέτη μας. Στο δεύτερο κεφάλαιο καλύπτουμε τη βασική θεωρία ομογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και αποδεικνύουμε το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης καθώς επίσης και μια πρόταση που μας επιτρέπει από μια δεδομένη λύση του συστήματος να κατασκευάσουμε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση, τουλάχιστον για 2x2 πίνακες. Το τρίτο κεφάλαιο βρίσκεται στο επίκεντρο της θεωρίας και διαπραγματεύεται το Θεώρημα του Floquet το οποίο προσφέρει μια κανονική μορφή για κάθε θεμελιώδη πίνακα αυτών των περιοδικών συστημάτων και το Θεώρημα υποβιβασμού κατά Lyapunov το οποίο παρέχει ένα τρόπο μετατροπής ενός συστήματος με περιοδικούς συντελεστές σε ένα ισοδύναμο σύστημα με σταθερούς συντελεστές. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις έννοιες των χαρακτηριστικών εκθετών Floquet και τους πολλαπλασιαστές τους, μελετάμε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύουμε δύο προβλήματα που βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου εφαρμογής της προτεινόμενης μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, επιλύουμε ένα απλό 2x2 σύστημα και ακολούθως μελετάμε την συμπεριφορά των λύσεων μιας δευτεροτάξιας εξίσωσης ως προς την ευστάθεια της.

In this thesis, we present the theory of Floquet which is a very effective method for solving systems of differential equations with periodic coefficients. The thesis combines elements from different branches of mathematics, something that becomes apparent in the first chapter in which we do a rundown of definitions and theorems (with or without proof) that we will be needed in our study. In the second chapter we cover the basic theory on systems of differential equations and prove the fundamental theorem of existence and uniqueness of a solution as well as a proposition which enables the construction of a second linearly independent solution, at least for 2x2 matrices. The third chapter focuses on the Floquet's theorem which offers a canonical form for each fundamental matrix of these periodic systems, and the Lyapunov’s reducibility theorem which provides a way to transform a system with periodic coefficients into an equivalent system with constant coefficients. Moreover, using the notions of the characteristic Floquet’s exponents and multipliers we study the stability of the solutions. Finally, in the last part we solve two problems that help us to understand the proposed method. More concretely, we first solve a simple 2x2 system and then study the solutions of a second-order differential equation with regard to their stability.