Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και οι εφαρμογές τους στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά

Abstract

Η τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης, η επιλογή χαρτοφυλακίου κ.α. αποτελούν πολύ σημαντικό μέρος της χρηματοοικονομικής επιστήμης, έτσι οι εφαρμογές της θεωρίας της στοχαστικής ολοκλήρωσης και διαφορά μαθηματικά μοντέλα αποτελούν χρήσιμα εργαλεία και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο κομμάτι αυτό. Στη παρούσα διπλωματική εργασία ασχοληθήκαμε με βασικά είδη παραγώγων , call και put options. Αναπτύξαμε την ιδέα του ισοδύναμου χαρτοφυλακίου και του τρόπου υπολογισμού των risk neutral πιθανοτήτων. Αναφερθήκαμε στα διακριτού χρόνου διωνυμικά δέντρα μιας και πολλών περιόδων. Είδαμε την λογαριθμοκανονική κατανομή και το μοντέλο CRR. Έγινε επίσης αναφορά σε βασικούς ορισμούς όπως αυτός της κίνησης Brown, της στοχαστικής διαδικασίας συνεχούς χρόνου, καθώς ακόμη και στο λογισμό του Ito ̂. Βασικά θεωρήματα όπως το θεώρημα Radom-Nikodym και το θεώρημα Girsanov τεκμηριώθηκαν επίσης ώστε να καταλήξουμε στο μαθηματικό μοντέλο Black Scholes. Τέλος έγινε εφαρμογή όλων των παραπάνω στην γλώσσα προγραμματισμού Python.