Γεωμετρική αναπαράσταση των συνεχών κλασμάτων

Abstract

Εισάγοντας πρώτα βασικές έννοιες και ορισμούς όπως η θέση ενός σημείου σε σχέση με μία ευθεία της μορφής y=ax (όπου a η κλίση της ευθείας), την κλίση του σημείου αυτού και θεωρήματα σχετικά με τις προαναφερόμενες έννοιες , σκοπός είναι να συστηθεί στον αναγνώστη η έννοια του συνεχούς κλάσματος , το ανάπτυγμα πραγματικών αριθμών στην μορφή αυτή και βασικά θεωρήματα αυτού του αναπτύγματος. Περιγράφεται η προσπάθεια προσέγγισης των άρρητων αριθμών από συγκλίνουσες ρητούς και αποδεικνύεται ότι οι βέλτιστες προσεγγίσεις των άρρητων δίνονται από τα αναγωγίματα και τα δευτεροβάθμια αναγωγίματα του αναπτύγματος και μελετάται η γεωμετρική απεικόνιση της προσπάθειας αυτής.Τέλος, εξετάζεται το προνόμιο της περιοδικότητας του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα όπου το έχουν μόνο οι τετραγωνικοί άρρητοι και την εφαρμογή ιδιοτήτων του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα της τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο στην λύση της «εξίσωσης Fermat - Pell»