Viscoelastic flow around particles using the Fene-P and Giesekus models

Abstract

Η ροή γύρω από σφαιρικά και κυλινδρικά σωματίδια αποτελεί θεμελιώδες πρόβλημα της μηχανικής των ρευστών. Υπάρχουν τρία διαφορετικά προβλήματα τέτοιων ροών που θεωρούνται ως βασικά. Αυτά είναι, “διατμιτική ροή”, “εκτατική ροή” και “ροή σταθερής μετατόπισης”. Στο πρώτο κεφάλαιο αυτής της διπλωματικής εργασίας μελετάμε ένα πρόβλημα “εκτατικής ροής ”, ενώ στο δεύτερο ένα πρόβλημα “ροής σταθερής μετατόπισης”. Αν κάποιος αναγνώστης ενδιαφέρεται να δει και κάποιο πρόβλημα διατμιτικής ροής μπορεί να διαβάσει το ακόλουθο paper [K. D. Housiadas and R. I. Tanner, “Viscoelastic shear flow past an infinitely long and freely rotating cylinder,” Phys. Fluids, 30, 073101 (2018)], που είναι στο ίδιο πλαίσιο και τεχνικές με αυτή την εργασία. Η κίνηση άκαμπτων σωματιδίων σε ουδέτερης πλευστότητας και μη-Brownian αιωρημάτων είναι ένα σύγχρονο θέμα μελέτης και αρκετά δύσκολο, σημαντικό για θεωρητικούς σκοπούς, για ανάπτυξη νέων υπολογιστικών μεθόδων καθώς επίσης και για την εφαρμογή του στην βιομηχανία. Στη θεωρία των αιωρημάτων συχνά μελετούμε την ροή του ρευστού που περιβάλλει ένα μόνο σωματίδιο αγνοώντας την παρουσία όλων των άλλων σωματιδίων και υπό τις απλούστερες δυνατές συνθήκες. Είναι χρήσιμο να πούμε ότι στα αιωρήματα στο ρευστό που περιβάλει τα άκαμπτα σωματίδια αναφέρεται ως matrix fluid. Ωστόσο, όταν το ρευστό (matrix fluid) έχει ιξωδοελαστικές ιδιότητες και ακόμη και υπό την απουσία αδράνειας, η κατάσταση είναι πολύ πιο περίπλοκη επειδή εξισώσεις που διέπουν την ροή, δηλαδή διατήρηση μάζας και ορμής και το καταστατικό μοντέλο που περιγράφει την συμπεριφορά του ρευστού υπό παραμόρφωση ροής, είναι ισχυρά μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Επομένως δεν μπορούν να έχουν ακριβής λύση. Στην περίπτωση του σφαιρικού άκαμπτου σωματιδίου υπάρχουν διαθέσιμα στη βιβλιογραφία μια μεγάλη ποικιλία από κατά προσέγγιση αναλυτικές καθώς και αριθμητικές λύσεις. Πλέον, αυτό το πρόβλημα θεωρείται ως σημείο αναφοράς για την ανάπτυξη νέων αριθμητικών μεθόδων. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση του πώς η ιξωδοελαστικότητα επηρεάζει τη ροή γύρω από κυλινδρικά και σφαιρικά σωματίδια. Για να επιτευχθεί αυτός ο στόχος, θα πρέπει να δώσουμε λύση σε αυτά τα προβλήματα. Η εύρεση αναλυτικά της ακριβούς λύσης των μη γραμμικών εξισώσεων που περιγράφουν αυτά τα προβλήματα είναι κάτι που δεν έχει βρεθεί με τις ως τώρα τεχνικές στα μαθηματικά. Για να βρούμε μια κατά προσέγγιση λύση, ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφεται από τους Housiadas & Tanner υιοθετώντας ένα κανονικό σχήμα διαταραχών. Στα κεφάλαια ένα και δύο, παρουσιάζονται αναλυτικά η μεθοδολογία και τα αποτελέσματα για κάθε πρόβλημα. Το πρώτο μέρος της εργασίας που παρουσιάζεται σε αυτή τη διατριβή έχει γίνει μαζί με τον Σπύρο Γκορμπατσή, τον καθηγητή Κωνσταντίνο Χουσιάδα από το Πανεπιστήμιο Αιγαίου και σε συνεργασία με τον καθηγητή Roger Ian Tanner από το Πανεπιστήμιο του Σίδνεϊ. Το δεύτερο μέρος έχει γίνει επίσης μαζί με τους Γκορμπάτη και Χουσιάδα, καθώς και σε συνεργασία με τον καθηγητή Antony N. Beris, από το Πανεπιστήμιο του Delaware των Η.Π.Α. Δύο πλήρεις ερευνητικές εργασίες σε γνωστά διεθνή περιοδικά με κριτές στους τομείς της μηχανικής των ρευστών και της ρεολογίας, έχουν δημοσιευτεί και περιλαμβάνονται σε αυτή την εργασία. Η πρώτη εργασία έχει δημοσιευθεί στο Physics of Fluids και η δεύτερη στο Journal of Non-Newtonian fluid Mechanics. Θα ήθελα να τονίσω ότι παρόλο που ο Σπύρος και εγώ έχουμε εργαστεί στα ίδια ερευνητικά προβλήματα (τα οποία παρουσιάζονται αναλυτικά στα κεφάλαια 1 και 2, σε αυτή τη διατριβή), χρησιμοποιήσαμε διάφορα καταστατικά μαθηματικά μοντέλα που είναι κατάλληλα για διαφορετικά ιξωδοελαστικά ρευστά. Προτείνεται στον ενδιαφερόμενο αναγνώστη να διαβάσει τα paper αν θέλει να έχει μια πλήρη εικόνα για όλα τα μοντέλα. Τέλος, ενώ τα αναλυτικά αποτελέσματα που αναφέρονται σε αυτή τη διατριβή είναι μεγάλα και έγκυρα για μικρό αριθμό Weissenberg, παρέχουν έναν οδηγό για την κατανόηση των επιπτώσεων της ιξωδοελαστικότητας και μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν ως αναφορά στην ακρίβεια των αριθμητικών προσομοιώσεων ως προς την ανάπτυξη νέων υπολογιστικών μεθόδων για ιξωδοελαστικές ροές.

The flow around spherical and cylindrical particles comprises fundamental fluid mechanics problems. There are three different types of problems which are considered as main. These are “shear flow”, “elongational flow” and “steady translation”. In the first chapter presented an “elongational flow” problem, while in the second chapter a “steady translation” problem. Regarding “shear flow” problems, an interested reader could study the paper [K. D. Housiadas and R. I. Tanner, “Viscoelastic shear flow past an infinitely long and freely rotating cylinder,” Phys. Fluids, 30, 073101 (2018)]. The motion of rigid particles in neutrally buoyant, non-Brownian suspensions is a very active and difficult subject, important for theoretical purposes, for the development of new computational methods, as well as for the progress in industrial and real-world applications. A fundamental task in the theory of suspensions is the study of the flow surrounding (matrix) fluid around a single particle ignoring the presence of all other particles and under the simplest possible conditions. However, when the matrix fluid has viscoelastic properties and even in absence of inertia, the situation is much more complex because the relevant governing equations, i.e. the mass and momentum balances and the constitutive model which describes the response of the matrix fluid under flow deformation, are strongly non-linear. As such, they cannot be solved analytically. In the case of a spherical rigid particle there are available in the literature a big variety of approximate analytical solutions as well as numerical solutions. Nowadays, this problem is considered as a benchmark for the development of new numerical methods. The purpose of the present work is to investigate how viscoelasticity affects the flow around cylindrical and spherical particles. To accomplish this goal, we should provide a solution to these problems. Finding analytically the exact solution of the non-linear governing equations that describe these problems has been an unfeasible task so far. In order to find an approximate solution, we follow the methodology described by Housiadas & Tanner adopting a regular perturbation scheme. In the chapters one and two, there are analytically the methodology and the results for every single problem. The first part of the work presented in this dissertation has been done together with my classmate Spyros D. Gkormpatsis and in collaboration with Professor Roger Ian Tanner at the University of Sydney, Sydney. The second part has also been done together with my classmate Spyros, as well as in collaboration with Professor Antony N. Beris, at the University of Delaware, USA. Two full length research papers in well-known international peer-reviewed journals in the fields of fluids mechanics and rheology, have been published from the current work and Spyros’ work. The first paper has been published in Physics of Fluids and the second paper in Journal of Non-Newtonian fluid Mechanics. I would like to emphasize that although Spyros and myself have worked on the same research problems (which are presented in detail in chapters 1 and 2, in this thesis) we have used a variety of constitutive mathematical models which are suitable for different viscoelastic fluids. This is where the difference between my work and Spyro’s work lie. Thus, each thesis is different and represents a significant contribution in the literature. In conclusion, whilst the analytical results reported in this thesis are lengthy and valid for small Weissenberg number, they provide a guide for the understanding of the effects of viscoelasticity, and can be also used as a reference to the accuracy of numerical simulations, as well as for the development of new computational methods for viscoelastic flows.