Το θεώρημα Radon Nikodym

Abstract

Η εργασία χωρίζεται σε κεφάλαια τα οποία, το καθένα ξεχωριστά βοηθάει να φτάσουμε στην απόδειξη του Θεωρήματος Radon Nikodym. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται έννοιες και θεωρήματα τα οποία είναι γνωστά από τα μαθήματα της Ανάλυσης και θα χρησιμοποιηθούν στην συνέχεια της εργασίας ως απαραίτητα εργαλεία. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται καινούργιες έννοιες, όπως απολύτως συνεχές και ιδιάζοντα μέτρα καθώς οι Upper, Lower και Total Variations και θεωρήματα αυτών. Οι έννοιες αυτές με την σειρά τους θα μας βοηθήσουν κατά κόρων στην απόδειξη του θεωρήματος Radon Nikodym. Στο τρίτο κεφάλαιο διατυπώνονται και αποδεικνύονται δυο σημαντικά αποτελέσματα των μέτρων που ονομάζονται Jordan και Hahn Decompositions. Στο τέταρτο κεφάλαιο χωρίζουμε σε κομμάτια την απόδειξη του βασικού μας θεωρήματος. Δηλαδή, διατυπώνονται και αποδεικνύονται εκτενώς δυο λήμματα τα οποία στην συνέχεια χρησιμοποιούνται για να αποδείξουμε ευκολότερα τα θεώρημα Radon Nikodym. Στο πρώτο λήμμα εξειδικεύουμε την κεντρική μας απόδειξη και την μετατρέπουμε στην ουσία από απόδειξη σ-πεπερασμένων μέτρων σε απόδειξη απλώς πεπερασμένων μέτρων. Επίσης, το δεύτερο λήμμα είναι τεχνικό και η απόδειξή του αρκετά θεωρητική αλλά πολύ χρήσιμη στο αποδείξουμε με αυτήν το Θεώρημα Radon Nikodym. Τέλος, συνδυάζουμε το θεώρημα Radon Nikodym και τις έννοιες της Δεσμευμένης Πιθανότητας και της Δεσμευμένης Μέσης Τιμής. Έτσι, καταλήγουμε και παρουσιάζουμε αναλυτικά ιδιότητες και παραδείγματα της Δεσμευμένης Μέσης Τιμής τα οποία προκύπτουν και αποδεικνύονται με την χρήση του Θεωρήματος Radon Nikodym.