Λύσεις οδεύοντος κύματος και εφαρμογές στην μαθηματική βιολογία

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται λύσεις οδεύοντος κύματος και εφαρμογές στην μαθηματική Βιολογία. Το κύριο κομμάτι βασίστικε στις λύσεις οδεύοντος κύματος και την ευστάθεια των κυματικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, μια απο αυτές που μας έχει ιδιαίτερα απασχολήσει είναι η μη γραμμική εξίσωση αντίδρασή - διάχυσης. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα καθώς και την κυματική εξίσωση στην πραγματική ευθεία. Επίσης εισάγουμε την έννοια του οδεύοντος κύματος και το κατατάσσουμε σε επιμέρους κατηγορίες ανάλογα με τις σχέσεις που ικανοποιεί. ́Εννοιες που είναι απαραίτητες για τη συνέχεια της παρούσας εργασίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την ευστάθεια μη γραμμικών κυμάτων. Χρησιμοποιούμε ως τη λύση οδεύοντος κύματος για τη μη γραμμική ΜΔΕ αντίδρασης-διάχυσης. Οι βασικές πληροφορίες για την ευστάθεια των λύσεων περιέχονται στη γραμμικοποίηση της ΜΔΕ για το οδεύον κύμα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη θεωρία Sturm-Liouville στις γραμμικοποιημένες εξισώσεις και η θέση του φάσματος είναι αυτή που καθορίζει την ευστάθεια. Τέλος κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Evans για τη μη γραμμική ΜΔΕ αντίδρασης-διάχυσης που είναι εργαλείο χρήσιμο για τις έρευνες ευστάθειας μη γραμμικών κυμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο κάνουμε μια σύνδεση των μερικών διαφορικών εξισώσεων που έχουμε μελετήσει με τα βιολογικά μοντέλα. Τέλος αναλύουμε την ευστάθεια των οδεύοντων κυμάτων και αποδεικνύουμε την ύπαρξη των λύσεων.