Συντηρητικά δυναμικά συστήματα και εφαρμογές

Abstract

Η παρούσα μελέτη μέσα στο πλαίσιο της διπλωματικής εργασίας με θέμα “συντηρητικά δυναμικά συστήματα και εφαρμογές”. Στα συντηρητικά δυναμικά συστήματα υπάρχει μια τετριμμένη ποσότητα, η οποία παραμένει σταθερή σε κάθε σημείο της τροχιάς(λύσης). Συνεπώς η ολική ενέργεια(άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας) του συστήματος παραμένει σταθερή. Οι μεταβολές της κινητικής και δυναμικής ενέργειας γίνονται με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα τους να παραμένει σταθερό. Πρόκειται στην ουσία για φυσικά συστήματα μέσω των οποίων εκφράζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Περιλαμβάνει αρχικά βασικές έννοιες των δυναμικών συστημάτων, όπως αυτών της ευστάθειας και διακλάδωσης. Δηλαδή αν έχουμε ένα σύστημα που εξαρτάται από κάποια παράμετρο-θα επέφερε μικρή ή μεγάλη μεταβολή στη λύση του. Στη συνέχεια παρατίθενται βασικά παραδείγματα συντηρητικών δυναμικών συστημάτων, όπως το κλασικό σύστημα Lotka-Volterra, όπου πρόκειται για δύο διαφορετικά είδη αλληλεξαρτώμενων πληθυσμών. Ακόμη ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι συναρτήσεις Lyapunov, καθώς πρόκειται για συναρτήσεις ενέργειας, όπου αποδεικνύουν ότι ένα σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές. Επίσης, έχω μελετήσει διάφορα μονοδιάστατα συστήματα, τα οποία αφορούν ένα σωματίδιο που κινείται σύμφωνα με τους νόμους της κίνησης του Νεύτωνα. Τέλος γίνεται αναφορά στα μη συντηρητικά συστήματα, δηλαδή συστήματα στα οποία υπάρχει απώλεια ενέργειας, καθώς και στα τμήματα Poincare για μη αυτόνομα συστήματα. Πρόκειται στην ουσία για συστήματα όπου τα διαγράμματα των τροχιών εμφανίζονται ως “κόμποι’ από τεμνόμενες καμπύλες.