A study of time series with time-varying variance: a practical approach with applications in actuarial science and finance

Abstract

Μία στοχαστική χρονοσειρά είναι ένας τύπος χρονοσειράς όπου οι μελλοντικές τιμές μπορούν να καθοριστούν μόνο σε όρους μιας κατανομής πιθανότητας. Aν αυτή η κατανομή πιθανότητας είναι σταθερή με την πάροδο του χρόνου, τότε η χρονοσειρά λέγεται στάσιμη. Μια λιγότερο αυστηρή συνθήκη για τη στασιμότητα απαιτεί τουλάχιστον το επίπεδο και η διακύμανση της χρονοσειράς να είναι σταθερά με την πάροδο του χρόνου. Οι ερευνητές χρησιμοποιούν διάφορους ελέγχους για να εξετάσουν τη μη-στασιμότητα στο επίπεδο μιας χρονοσειράς, αλλά συχνά παραμελούν να εξετάσουν τη μη-στασιμότητα στη διακύμανσή της, κατά την διεξαγωγή εφαρμοσμένης έρευνας. Πράγματι, όσον αφορά τη διακύμανση της χρονοσειράς, η πρωταρχική ερευνητική έμφαση δίνεται στη μοντελοποίηση της αυτοπαλίνδρομης δεσμευμένης (υπό συνθήκη) ετεροσκεδαστικότητας, συνήθως χρησιμοποιώντας διάφορα ARCH-GARCH τύπου μοντέλα. Είναι ουσιώδες να διακρίνουμε ανάμεσα σε δύο βασικές έννοιες: την μη-στασιμότητα της διακύμανσης, που συχνά αναφέρεται και ως ετεροσκεδαστικότητα, και της δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας. Η ετεροσκεδαστικότητα συνεπάγεται μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ της διακύμανσης μίας σειράς, που είναι μη-στάσιμη στο επίπεδό της και του μέσου επιπέδου της. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μη-στασιμότητα στη διακύμανση, και η διακύμανση είναι μη-σταθερή τόσο υπό συνθήκη, όσο και χωρίς συνθήκη (μη-δεσμευμένη). Συνεπώς, η διαδικασία είναι μη-ομοιογενώς μη-στάσιμη στο πλαίσιο των Box και Jenkins και δεν μπορεί να γίνει στάσιμη απλώς παίρνοντας τις διαφορές. Για να αντιμετωπιστεί η μη-στασιμότητα της διακύμανσης, μια προσέγγιση είναι η εφαρμογή μετασχηματισμών, όπως είναι οι ευρέως γνωστοί μετασχηματισμοί των Box και Cox. Από την άλλη πλευρά, η δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα, που περιγράφεται συχνά χρησιμοποιώντας μοντέλα του τύπου ARCH-GARCH, υπονοεί ότι ενώ η δεσμευμένη διακύμανση μεταβάλλεται με τον χρόνο, η μη-δεσμευμένη διακύμανση παραμένει σταθερή. Ως αποτέλεσμα, η σειρά είναι στάσιμη στη δεύτερη ροπή. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, επικεντρωνόμαστε σε σειρές με μη-σταθερή διακύμανση τόσο υπό συνθήκη όσο και χωρίς συνθήκη, καλύπτοντας μέχρι ένα βαθμό ένα κενό στην ευρύτερη περιοχή, καθώς η υπάρχουσα ερευνητική βιβλιογραφία είναι σχετικά περιορισμένη. Πράγματι, αν και είναι ουσιώδες να αντιμετωπιστεί η μη-σταθερή διακύμανση στη μοντελοποίηση χρονοσειρών, υπάρχει έλλειψη συγκροτημένης θεωρητικής έρευνας σχετικά με την ανίχνευση και τη διόρθωσή της. Επιπλέον, στις πρακτικές εφαρμογές, η αντιμετώπιση της μη-στασιμότητας της διακύμανσης δεν είναι μόνο ανεπαρκής, καθώς η επιλογή ενός συγκεκριμένου μετασχηματισμού συχνά είναι αυθαίρετη, αλλά επίσης, όπως τεκμαίρεται στο Κεφάλαιο 2, περιστασιακά είναι μεροληπτική ως προς την υπερβολική απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης της μη-δεσμευμένης σταθερής διακύμανσης. Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι να παρουσιάσει μια επίσημη οικονομετρική προσέγγιση που όχι μόνο ανιχνεύει τη μη-στασιμότητα της διακύμανσης και προτείνει κατάλληλους μετασχηματισμούς για τη διόρθωσή της, αλλά επίσης είναι ανθεκτική αφενός ως προς τις διάφορες διαμερίσεις μιας χρονοσειράς, που αποτελεί απαραίτητο βήμα για τη διεξαγωγή του ελέγχου, και αφετέρου την πιθανή ύπαρξη ακραίων τιμών. Η σημαντικότητα της χρήσης αυτής της προσέγγισης στους τομείς της μακροοικονομίας, της αναλογιστικής επιστήμης και της χρηματοοικονομικής εξετάζεται λεπτομερώς και υποστηρίζεται στα Κεφάλαια 3, 4 και 5 αντίστοιχα.