Το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach

Abstract

Το θεώρημα σταθερού σημείου Banach είναι σημαντικό ως πηγή θεωρημάτων ύπαρξης και μοναδικότητας σε διάφορους κλάδους της ανάλυσης. Με αυτόν τον τρόπο το θεώρημα παρέχει μια εντυπωσιακή απεικόνιση της ενοποιητικής δύναμης των λειτουργικών αναλυτικών μεθόδων και της χρησιμότητας των θεωρημάτων σταθερού σημείου στην ανάλυση. Το θεώρημα σταθερού σημείου Banach ή το «θεώρημα της συστολής» αφορά ορισμένες απεικονίσεις ενός πλήρους μετρικού χώρου στον εαυτό του. Δηλώνει συνθήκες επαρκείς για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα ενός σταθερού σημείου (σημείο που απεικονίζεται στον εαυτό του). Το θεώρημα δίνει επίσης μια επαναληπτική διαδικασία με την οποία μπορούν να ληφθούν προσεγγίσεις του σταθερού σημείου και όρια σφάλματος. Υπάρχουν τρία σημαντικά πεδία εφαρμογής του θεωρήματος: Γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις, Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, Ολοκληρωτικές εξισώσεις