Μελέτη διάφορων στοχαστικών επιδημικών μοντέλων

Abstract

Γενικά, η επιδημιολογία σαν κλάδος των Μαθηματικών αναπτύχθηκε τον εικοστό αιώνα με την παράλληλη ανάπτυξη της τεχνολογίας και των Μαθηματικών εννοιών. Η μοντελοποίηση σε ένα αυστηρό μαθηματικό πλαίσιο οδήγησε τον τομέα της επιδημιολογίας σε πολλά και σημαντικά αποτελέσματα. Η συνεχής μελέτη των διαθέσιμων μοντέλων για διαφορετικούς ιούς, σε διαφορετικούς πληθυσμούς με διαφορετικές ιδιότητες οδήγησε στην εμπεριστατωμένη μελέτη των επιδημιών. Αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η Μελέτη Διάφορων Στοχαστικών Επιδημικών Μοντέλων. Για την επίτευξη αυτού του στόχου μελετώνται οι έννοιες των πιο διαδεδομένων στοχαστικών επιδημικών μοντέλων όπως τα Ντετερμινιστικά Μοντέλα SIS και SIR τα οποία τα εξετάζουμε με βάση των Μοντέλων Διακριτού Χρόνου (DTMC), Συνεχούς Χρόνου (CTMC) και Στοχαστικής Διαφορικής Εξίσωσης (SDE) αλλά και τα μαθηματικά εργαλεία που είναι απαραίτητα για να μοντελοποιηθούν αυτά. Έτσι, αρχικά γίνεται μια σύντομη παρουσίαση της θεωρίας των επιδημιολογικών μοντέλων και στη συνέχεια, παρατίθενται οι μαθηματικές έννοιες και τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση των προβλημάτων. Ύστερα, ασχολούμαστε με το κομμάτι της αβεβαιότητας που παρουσιάζεται στα μοντέλα και βλέπουμε μαθηματικές τεχνικές που την προσεγγίζουν. Κλείνοντας, εξετάζεται το Επιδημικό Μοντέλο SIR για την Πανδημία COVID-19, η οποία έκανε την εμφάνισή της στην περιοχή Wuhan στην Κίνα, τον Δεκέμβριο του 2019, καθώς και η Εκτίμηση των Παραμέτρων του Μοντέλου SIR για την COVID-19 στην Ινδία κατά την διάρκεια των περιόδων lockdown.

In general, epidemiology as a branch of mathematics developed in the twentieth century with the parallel development of technology and mathematical concepts. Modeling in a strict mathematical framework has led the field of epidemiology to many important results. The continuous study of available models for different viruses, in different populations with different properties has led to the in-depth study of epidemics. The subject of this postgraduate thesis is the Study of Various Stochastic Epidemic Models. To achieve this target, the concepts of the most widespread stochastic epidemic models, such as the Deterministic Models SIS and SIR, are studied, which we examine based on Discrete Time (DTMC), Continuous Time (CTMC) and Stochastic Differential Equation (SDE) Models, as well as the mathematical tools necessary to model them. Thus, a brief presentation of the theory of epidemiological models is made and then, the mathematical concepts and tools used to model the problems are listed. Then, we deal with the part of uncertainty that occurs in the models and we see mathematical techniques that approach it. In closing, we examine the SIR Epidemic Model for the COVID-19 Pandemic, which appeared in the Wuhan region of China, in December 2019, as well as the Estimation of the Parameters of the SIR Model for COVID-19 in India during lockdown periods.