Συστημικό μοντέλο κινδύνου με εξάρτηση και πολυμεταβλητή ομαλή μεταβλητότητα

Abstract

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε το Συστημικό Μοντέλο Κινδύνου σε διάφορες μορφές του από πιθανοθεωρητική σκοπιά. Οι μορφές αυτές ποικίλουν ανάλογα με την κλάση της κατανομής των αποζημιώσεων αλλά και την δομή εξάρτησης η οποία υπάρχει είτε μεταξύ των αποζημιώσεων είτε των επιτοκίων είτε και τα δύο συνδυαστικά. Το μοντέλο αυτό όσο η κατανομή των αποζημιώσεων είναι η κανονική είναι κάπως τετριμμένο και δίνει γρήγορες και εύκολες απαντήσεις όπως για παράδειγμα σχετικά με την συμπεριφορά κάποιων μέτρων κινδύνου επί του μοντέλου αυτού. Η κανονική κατανομή θεωρείται από πολλούς (όπως και από εμένα) η ’ καλύτερη’ κατανομή στην φύση, λόγο των πολύ καλών ιδιοτήτων της και της επίπονης έρευνας που γίνεται για πολλά χρόνια, ωστόσο πολλά φαινόμενα (κυρίως αυτά που έχουν κατανομές με βαριά ουρά) δεν προσεγγίζονται καλά από την κανονική κατανομή και οι αποκλίσεις στην πράξη είναι χαοτικές. Το Συστημικό μοντέλο κινδύνου ουσιαστικά μελετάει την κρίση ενός συστήματος (χρηματοπιστωτικού ή ασφαλιστικού) η οποία μπορεί να προκύψει ακόμη και από μία μόνο συνιστώσα, μπορεί λοιπόν κάποιος να καταλάβει ότι οι βαριές ουρές περιέχονται στο μοντέλο αυτό από την φύση του. Από την άλλη η εξάρτηση μεταξύ των συνιστωσών του μοντέλου είναι πολλές φορές καθοριστικός παράγοντας ως προς την μέτρηση και την διαχείριση του κινδύνου. ΄Ενας καλώς τρόπος να συνδυάσουμε τα παραπάνω (βαριές ουρές και εξάρτηση) είναι η λεγόμενη Πολυμεταβλητή Ομαλή Μεταβλητότητα, η οποία χαρακτηρίζει ένα τυχαίο διάνυσμα το οποίο έχει συνιστώσες με ομαλά μεταβαλλόμενη κατανομή (μία κλάση κατανομών με βαριά ουρά) και περιέχει από τον ορισμό της αυθαίρετη εξάρτηση μεταξύ των συνιστωσών το οποίο έπεται και ασυμπτωτική εξάρτηση σε κάποιες (ή και σε όλες) τις συνιστώσες. Παρόλο που στις αρχές του 21ου αιώνα τα θέματα εξάρτησης σε κατανομές με βαριά ουρά έμοιαζαν ουτοπικά, πλέον μία μεγάλη ομάδα ερευνητών που ασχολείται με κατανομές με βαριά ουρά έχει στρέψει το βλέμμα της στο να τις συνδυάσει με μοντέλα εξάρτησης. Στην παρούσα διατριβή λοιπόν μελετάμε το συστημικό μοντέλο κινδύνου υπό διάφορες μορφές εξάρτησης υπό καθεστώς βαριών ουρών. Πιο συγκεκριμένα μελετάμε την κλάση της ομαλής μεταβλητότητας (και της επέκτασης της σε πολλές διαστάσεις) καθώς και στην τελευταία ενότητα μία ελαφρώς μεγαλύτερη κλάση κατανομών με βαριά ουρά η οποία είναι η τομή των κυριαρχημένα μεταβαλλόμενων κατανομών με τις κατανομές με μακριά ουρά. Τα πρώτα κεφάλαια είναι εισαγωγικά και έχουν σκοπό την εξοικείωση του αναγνώστη με το θέμα. Το παράρτημα έχει προστεθεί για την πληρότητα του κειμένου. Τα αποτελέσματα τις εργασίας παρουσιάζονται στις ενότητες 3.2.3 , 4.3, 5.2, 5.3, 5.4 . Εν τάχει δίνουμε μία σχέση κλειστότητας του συνελικτικού γινομένου σε περιβάλλον πολυμεταβλητής ομαλής μεταβλητότητας υπό Asimit-Jones εξάρτηση. Στην συνέχεια μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά του παραμορφωμένου μέτρου κινδύνου ουράς υπό διάφορες μορφές του συστημικού μοντέλου κινδύνου. Στην 5.2 μελετάμε την από κοινού συμπεριφορά του Tail Expectation στην περίπτωση μη-ισοβαρών χαρτοφυλακίων. Στην 5.3 εισάγουμε μία νέα μορφή εξάρτησης την οποία καλούμαι γενικευμένη ασυμπτωτική ανεξαρτησία ου- ρών και κάνουμε μία επέκταση του Θεωρήματος 5.1 στην οποία βρίσκουμε ασυμπτωτική σχέση για την από κοινού συμπεριφορά δύο τυχαία σταθμισμένων αθροισμάτων. Τέλος στην 5.4 δίνουμε ασυμπτωτική σχέση για την πιθανότητα χρεοκοπίας σε ένα διμεταβλητό μοντέλο κινδύνου διακριτού χρόνου. Μετά και το τελευταίο κεφάλαιο δίνουμε μερικές προτάσεις για μελλοντική έρευνα.