Χαοτικά δυναμικά συστήματα

Abstract

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο του χάους,φαινόμενο που ενδεχομένως εμφανίζεται σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα όπου ο χώρος φάσης που εξελίσσονται, είναι τριών και άνω διαστάσεων και ουσιαστικά ερμηνεύεται ως ο λόγος για τον οποίο αδυνατούμε να αποφανθούμε για την κατάληξη του συστήματος, παρά το ότι αυτό κατατάσσεται στην κατηγορία των ντετερμινιστικών. Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται για πρώτη φορά στα τέλη της δεκαετίας του 1960 από τον Lorenz καθώς μελετά ένα μετεωρολογικό μοντέλο.Στην παρούσα μελέτη,χρησιμοποιώντας και πάλι ως μοντέλο το σύστημα Lorenz, θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να εντοπίσουμε τις κρίσιμες τιμές των παραμέτρων για τις οποίες εμφανίζεται το χάος, θα εισάγουμε μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε τη χαοτικότητα ή μη ενός δυναμικού συστήματος όπως είναι ο μέγιστος εκθέτης Lyapunov, το φάσμα εκθετών Lyapunov ή ακόμα και πιο γρήγορων δεικτών που είναι ικανοί να αποδώσουν χρήσιμα συμπεράσματα, όπως είναι ο FLI (Fast Lyapunov Indicator).Για όλες αυτές τις μεθόδους, κατασκευάσθηκαν κώδικες σε πρόγραμμα matlab, οι οποίοι διατίθενται στον αναγνώστη.Τέλος, γίνεται χρήση των παραπάνω μεθόδων σε μια ιδιαίτερη κατηγορία δυναμικών συστημάτων, τα χαμιλτονιανά. Για την περαιτέρω κατανόηση του αντικειμένου, γίνεται επίσης ανάλυση και προγραμματισμός της τομής Poincare.