Εκτίμηση παραμέτρων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και εφαρμογές

Abstract

Στόχος αυτής της διπλωματικής είναι να παρουσιάσει την παραμετρική εκτίμηση των Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, στόχος μας είναι η σύντομη ανασκόπηση της προαπαιτούμενης γνώσης που χρειάζεται για την βαθύτερη κατανόηση της παραμετρικής εκτίμησης. Για τον σκοπό αυτό θα βασιστούμε κυρίως στο βιβλίο του Iacus S. (2008) [133], σχετικά με στοχαστικές διαδικασίες και στατιστική, καθώς και το στοχαστικό λογισμικό. Στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε κάποιες παραμετρικές οικογένειες στοχαστικών διαδικασιών. Θα περιορίσουμε την προσοχή μας κυρίως σε μονοδιάστατες, πραγματικές τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες. Επίσης, περιορίζουμε την προσοχή μας σε παραμετρικά μοντέλα με πολυδιάστατες παραμέτρους. Ποιο συγκεκριμένα θα παρουσιάσουμε μερικές από τις πιο γνωστές και ευρέως χρησιμοποιούμενες στοχαστικές διαδικασίες. Ειδικότερα θα επικεντρωθούμε σε τρεις στοχαστικές διαδικασίες, την διαδικασία των Ornstein-Uhlenbeck ή Vasicek, το μοντέλο Black-Scholes-Merton ή γεωμετρική κίνηση Brown και το μοντέλο των Cox-Ingersoll-Ross. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε την συμπερασματολογία με βάση την ακριβή πιθανοφάνεια, η οποία είναι μια στατιστική διαδικασία που βασίζεται στη μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας για την εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων. Τέλος θα εφαρμόσουμε την εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας σε προσωμοιωμένα και πραγματικά δεδομένα.