Lévy processes and applications in finance

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τις διαδικασίες Lévy για τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης, καθώς αποτελεί πεδίο έντονου ερευνητικού ενδιαφέροντος σχετικά με την εφαρμογή των εμπλεκόμενων μοντέλων στα χρηματοοικονομικά, ιδιαίτερα κατά την τελευταία δεκαετία. Στόχος μας ήταν να αποσαφηνίσουμε τα κύρια μαθηματικά χαρακτηριστικά πέντε διάσημων μοντέλων (Black – Scholes, Merton, Heston, Kou και Generalized Hyperbolic) και να παρέχουμε εργαλεία μοντελοποίησης, και όχι να παρουσιάσουμε μια συστηματική ανασκόπηση της βιβλιογραφίας αναφορικά με όλα τα μοντέλα στοχαστικών διαδικασιών Lévy που έχουν περιγραφεί από ερευνητές. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο ξεκινά μια σύντομη εισαγωγή, στην οποία περιγράφονται βασικές έννοιες των διαδικασιών Lévy ούτως ώστε να παρέχουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα του ορισμού, των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων τους, που θα βοηθήσει τον αναγνώστη στην κατανόηση του περιεχομένου της διπλωματικής. Στο επόμενο κεφάλαιο, εμβαθύνουμε στις περιπλοκές των διαδικασιών Lévy με άλματα, εξετάζοντας το υπόδειγμα «toy» και διευκρινίζοντας τις απείρως διαιρετές κατανομές τους. Παρουσιάζονται οι τύποι Lévy – Khintchine και Lévy – Itô και ακολούθως, αναλύονται διάφορες υποκατηγορίες των διαδικασιών Lévy, συμπεριλαμβανομένων των διεργασιών με άλματα πεπερασμένης μεταβολής, των φασματικών μονόπλευρων διεργασιών και εκείνων με πεπερασμένες πρώτες ροπές. Τέλος, διερευνούμε υποδειγματικές διεργασίες Lévy όπως διαδικασίες Poisson, σύνθετες διαδικασίες Poisson, γραμμική κίνηση Brown και σταθερές διεργασίες. Στο Κεφάλαιο 3, εστιάζουμε στις εφαρμογές των διαδικασιών Lévy στον χρηματοοικονομικό κλάδο. Συζητούνται κανόνες τιμολόγησης, ισοδύναμα μέτρα martingale, μέτρα ουδέτερου κινδύνου και η έννοια της μη πληρότητας της αγοράς. Γίνεται μια σχολαστική διερεύνηση της ισοδυναμίας των μέτρων στο πλαίσιο των διαδικασιών Lévy. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4 περιγράφονται πέντε δημοφιλή μοντέλα τιμολόγησης στη βιβλιογραφία των μαθηματικών χρηματοοικονομικών. Εξετάζεται το θεμελιώδες μοντέλο Black – Scholes και ακολουθεί μια εις βάθος ανάλυση του μοντέλου Merton Jump-Diffusion Model, Heston Stochastic Volatility Model, Kou Double Exponential Jump-Diffusion Model και του Generalized Hyperbolic Model. Τα μαθηματικά χαρακτηριστικά, οι εφαρμογές και οι επιπτώσεις του καθενός διευκρινίζονται διεξοδικά.

The present thesis deals with the study of Lévy processes for option pricing, since it is a field of intense research interest regarding the application in finance, especially over the last decade. Our aim was to elucidate the primary mathematical characteristics of five renowned models (Black – Scholes, Merton, Heston, Kou and Generalized Hyperbolic) and provide modelling tools, rather than displaying an exhaustive overview of all Lévy models described in the literature or delving into their intricate mathematical properties.More specifically, the first chapter embarks on a brief description of Lévy processes, providing a comprehensive understanding of their definition, characteristics, and properties.In the next chapter, we delve into the intricacies of Lévy processes, examining a 'toy' example of jump-diffusion Lévy processes and elucidating their infinitely divisible distributions. The Lévy – Khintchine formula and the Lévy – Itô decomposition are presented, followed by an exploration of various subclasses of Lévy processes, including subordinators, jumps of finite variation, spectrally one-sided processes, and those with finite first moments. Finally, we investigate exemplary Lévy processes such as Poisson processes, compound Poisson processes, linear Brownian motion, and stable processes.In Chapter 3, we shift our focus to the applications of Lévy processes in finance. Pricing rules, equivalent martingale measures, risk-neutral measures, and the concept of market incompleteness are discussed. A meticulous exploration of the equivalence of measures within the context of Lévy processes is undertaken. Chapter 4 navigates through popular pricing models in the mathematical finance literature. The foundational Black – Scholes model is examined, followed by an in-depth analysis of the Merton Jump-Diffusion Model, Heston Stochastic Volatility Model, Kou Double Exponential Jump-Diffusion Model, and the Generalized Hyperbolic Model. Each model's mathematical characteristics, applications, and implications are thoroughly elucidated.