Αναπαραστάσεις φαρετρών και το θεώρημα του Gabriel

Abstract

Το θέμα της πτυχιακής μου εργασίας είναι η μελέτη των φαρετρών και των αναπαραστάσεων τους πάνω από ένα σώμα k. Η μελέτη της θεωρίας αναπαραστάσεων κληρονομικών αλγεβρών του Artin με χρήση αναπαραστάσεων φαρετρών ξεκίνησε από την εργασία του Gabriel το 1972, στην οποία ταξινομήθηκαν οι κληρονομικές άλγεβρες πεπερασμένου τύπου αναπαράστασης καθώς και τα πρότυπα τους πάνω από αλγεβρικά κλειστά σώματα. Στόχος μας είναι να διατυπώσουμε το θεώρημα του Gabriel και να σκιαγραφήσουμε την απόδειξη του. Το θεώρημα του Gabriel καθώς και η συστηματική χρήση των φαρετρών και των αναπαραστάσεων τους είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία και διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην θεωρία αναπαραστάσεων και έχουν τύχει ευρείας εφαρμογής σε πολλούς κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Η πτυχιακή μου εργασία χωρίζεται σε δυο μέρη. Στο πρώτο μέρος αναπτύσσουμε την απαραίτητη θεωρία από δακτύλιους, πρότυπα και κατηγορίες. Στο δεύτερο μέρος επικεντρωνόμαστε στην μελέτη προτύπων πάνω από άλγεβρες του Artin, στη θεωρία φαρετρών και στο θεώρημα του Gabriel.