Ιστορία των μη ευκλείδειων γεωμετριών και εφαρμογές στις τέχνες και την τεχνολογία

Abstract

Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει την ιστορική διαδρομή μέχρι και την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, καθώς και να αναδείξει τη σπουδαιότητά τους σε τομείς της τέχνης και της τεχνολογίας. Η παρούσα εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται συνοπτικά κάποιες απόπειρες απόδειξης του 5ου Αιτήματος των “Στοιχείων” του Ευκλείδη από την Αρχαιότητα μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα, καθώς και η ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών στα μέσα του 19ου αιώνα. Επίσης, παρουσιάζονται τα μαθηματικά μοντέλα των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας επικεντρωνόμαστε στις εφαρμογές των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών στην Αρχιτεκτονική, τη Ζωγραφική και τη Φυσική. Πιο αναλυτικά, στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ορισμοί, τα αξιώματα (αιτήματα και κοινές έννοιες) καθώς και κάποια θεωρήματα από το 1ο βιβλίο του Ευκλείδη “Τα Στοιχεία” (περί το 300 π.Χ), με επίκεντρο σε αυτά που συνδέονται με το 5ο Αίτημα των παραλλήλων, το οποίο έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών.Στο 2ο κεφάλαιο, αναφερόμαστε σε κάποιους σχολιαστές των “Στοιχείων”, που θέλησαν να αποδείξουν το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη. Χρονολογικά ο πρώτος που προσπάθησε να το αποδείξει ήταν ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αιών. μ.Χ.). Ακολουθούν οι Πρόκλος (412-485 μ.Χ.), Nasiraddin at-Tusi (1201-1274), John Wallis (1616-1703). Έπειτα, θα παρουσιάσουμε τους βασικότερους μαθηματικούς που στην προσπάθειά τους να αποδείξουν το 5ο Αίτημα κατέληξαν σε ιδιότητες που στην ουσία ανήκουν σε Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, τους οποίους η ιστορική έρευνα χαρακτηρίζει ως προδρόμους των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Ονομαστικά οι βασικότεροι αυτών είναι οι παρακάτω: Gerolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), Adrien Marie Legendre (1752-1833). Έπειτα, θα παρουσιαστούν οι μαθηματικοί που ανακάλυψαν τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nicolai Ivanovitsch Lobachevsky (1793-1856), János Bolyai (1802-1860) και Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Τέλος, θα παρουσιάσουμε τα μαθηματικά μοντέλα των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών και θα σταθούμε ιδιαίτερα στη χρησιμότητά τους (η Ψευδόσφαιρα του Beltrami, ο Δίσκος των Klein-Beltrami, ο δίσκος του Poincaré, Επίπεδο Μοντέλο Σφαιρικής Γεωμετρίας).Στο 3ο και τελευταίο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τις εφαρμογές των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών στην Αρχιτεκτονική, τη Ζωγραφική και τη Φυσική. Πιο αναλυτικά, στον τομέα της αρχιτεκτονικής θα ασχοληθούμε με τις πιο απλούστερες επιφάνειες και πιο συχνά εφαρμοζόμενες στις κατασκευές τεχνικών έργων, που βασίζονται στις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, τις τετραγωνικές επιφάνειες: ελλειψοειδές, μονόχωρο υπερβολοειδές, δίχωνο υπερβολοειδές, ελλειπτικό παραβολοειδές και υπερβολικό παραβολοειδές. Έπειτα, στον τομέα της ζωγραφικής, θα μιλήσουμε για τη σύνδεση των μαθηματικών και της ζωγραφικής και θα σταθούμε ιδιαίτερα στον κύριο εκπρόσωπο της Υπερβολικής Γεωμετρίας στο χώρο της ζωγραφικής, τον Maurits Cornelis Escher και το έργο του. Τέλος, θα αναλύσουμε την προσφορά της Ελλειπτικής Γεωμετρίας στη Φυσική. Θα ασχοληθούμε με το έργο του Riemann, ο οποίος συνέδεσε τη Φυσική με τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και θα αναλύσουμε ιδιαίτερα τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein, για τη διατύπωση της οποίας, χρησιμοποιήθηκε ως μαθηματικό υπόβαθρο η Ελλειπτική Γεωμετρία.