Λογισμός Μεταβολών, Θεωρία Ελέγχου και Εφαρμογές

Abstract

Αυτή η πτυχιακή εργασία πραγματεύεται με αναλυτικές μεθόδους τις λύσεις προβλημάτων του Λογισμού Μεταβολών. Θα αναφέρουμε την θεωρία του Λογισμού Μεταβολών και έπειτα παραθέτουμε λυμένα παραδείγματα. Στην συνέχεια, κάνουμε μία μικρή εισαγωγή στον τρόπο λύσεως των προβλημάτων της Θεωρία Ελέγχου. Για τον Λογισμό Μεταβολών, έχουμε: Αναζητούμε λοιπόν, τις λύσεις των παρακάτω παραστάσεων. δεδομένου ότι Οι λύσεις των προβλημάτων αυτών επιτυγχάνετε με την βοήθεια : • Της εξίσωσης του Euler. • Της συνθήκης του Legendre. Με τη εξίσωση του Euler καταφέρνουμε να προσδιορίσουμε μία συνάρτηση , η οποία να ικανοποιεί την σχέση: , δεδομένου ότι . Η εξίσωση είναι : Έπειτα με την συνθήκη του Legendre, προσδιορίζουμε την μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση της ποσότητας αυτής. Η συνθήκη του Legendre, λέει ότι : Αν μία συνάρτηση , είναι αποδεκτή με βάση την εξίσωση του Euler, τότε για να μεγιστοποιήσουμε την , θα πρέπει να ισχύει: Το αντίστροφο, δηλαδή ισχύει όταν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την . Με την πάροδο των ενοτήτων της εργασίας αυτής, υπάρχουν : • Λυμένα παραδείγματα, με την βοήθεια της εξίσωσης του Euler. • Λύνοντας την εξίσωση του Euler, σε ειδικές περιπτώσεις. Ακόμα στην τελευταία ενότητα έχουμε να αναλύσουμε το ισομετρικό πρόβλημα. Το πρόβλημα αυτό δεν είναι άλλο από το αρχικό μας πρόβλημα , δηλαδή το : με την διαφορά τώρα ότι έχουμε σαν δεδομένα τα εξής: , και . όπου είναι διπλά παραγωγήσιμη συνάρτηση και είναι ένας σταθερός αριθμός. Στις παρακάτω ενότητες, λοιπόν, παρατηρούμε ότι όπως στον Διαφορικό Λογισμό χρησιμοποιούμε τα Θεμελιώδη Θεωρήματα έτσι και για την επίλυση του προβλήματος μας χρησιμοποιούμε την εξίσωση του Euler και την συνθήκη του Legendre. Δηλαδή έχουμε τον εξής παραλληλισμό : Στα Μαθηματικά, στη Φυσική και στα Οικονομικά, πολλές φορές εμφανίζονται προβλήματα προσδιορισμού της μεγαλύτερης ή της ελάχιστης τιμής ενός μεγέθους. Τα προβλήματα αυτά συνήθως ανάγονται στον προσδιορισμό της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής μίας συνάρτησης, με την οποία είναι δυνατόν να εκφραστεί το μέγεθος αυτό. Οπότε για μία συνεχή συνάρτηση τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ, όπου ισχύει ονομάζονται στάσιμα σημεία της . Τα στάσιμα σημεία καθώς και τα σημεία στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη ονομάζονται κρίσιμα σημεία της . Δηλαδή όπως ελέγχουμε για την ύπαρξη κρίσιμων σημείων, μηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, έτσι και στο πρόβλημά μας εξετάζουμε την εξίσωση του Euler. Επίσης , με βάση το Θεώρημα της 2ης παραγώγου, γνωρίζουμε ότι : Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο ισχύει και υπάρχει η . 1. Αν , τότε το είναι τοπικό μέγιστο. 2. Αν , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο. Αντίστοιχα , στο πρόβλημά μας τώρα, με την βοήθεια της συνθήκης του Legendre καταφέρνουμε να προσδιορίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο της παράστασης που επιθυμούμε, ως εξής: Η συνθήκη του Legendre: Μία αποδεκτή συνάρτηση , η οποία να μεγιστοποιεί την , πρέπει να ικανοποιεί όχι μόνο την εξίσωση του Euler, αλλά και την συνθήκη του Legendre. Το αντίστροφο, δηλαδή ισχύει όταν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την .