Διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού με χρήση αριθμητικών μεθόδων εφαρμοσμένες σε ασφαλιστικά μοντέλα

Abstract

Αυτή η πτυχιακή εργασία, αντλεί τα μαθηματικά πρότυπα από το είδος των κλασσικών μαθηματικών(μερικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού) και τα συνδέει με αριθμητικές μεθόδους του σήμερα, για να αποδείξει το ευρύ φάσμα εφαρμογών που έχουν οι διαφορικές εξισώσεις όχι μόνο στη Φυσική, αλλά και στον Χρηματοοικονομικό τομέα. Το πρώτο κεφάλαιο ξεκινά με το να ορίσει το Πρόβλημα των Αρχικών και των Οριακών Τιμών σε μία συνήθη διαφορική εξίσωση. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης καθώς και δεύτερης τάξεως με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές. Το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται τη φιλοσοφία των διαφορών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler, παραθέτεται ένα παράδειγμα που δίνει λύση σε μη γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών. Στη συνέχεια, αναφέρεται η μέθοδος πολλαπλών τιμών. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα με την μέθοδο Adams-Moulton μέθοδο, όπως επίσης και η αναφορά στις εναλλακτικές αριθμητικές μεθόδους. Τέλος στο κεφάλαιο 3, γίνεται η προσπάθεια να φανεί το εύρος των εφαρμογών των μερικών διαφορικών εξισώσεων στον ασφαλιστικό τομέα. Μέσα από τα μοντέλα πολλαπλών καταστάσεων βλέπουμε πως η εξέλιξη ενός ασφαλισμένου κινδύνου μπορεί να θεωρηθεί ως μία ακολουθία συμβάντων που καθορίζει τα ασφάλιστρα και τις αποζημιώσεις και πώς οι διαφορικές εξισώσεις μας βοηθούν να βρούμε τις πιθανότητες μετάβασης από την μία κατάσταση στην άλλη. Στο τέλος της εργασίας παρατίθενται γραφήματα και πίνακες. Αυτή η πτυχιακή εργασία, αντλεί τα μαθηματικά πρότυπα από το είδος των κλασσικών μαθηματικών(μερικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού) και τα συνδέει με αριθμητικές μεθόδους του σήμερα, για να αποδείξει το ευρύ φάσμα εφαρμογών που έχουν οι διαφορικές εξισώσεις όχι μόνο στη Φυσική, αλλά και στον Χρηματοοικονομικό τομέα. Το πρώτο κεφάλαιο ξεκινά με το να ορίσει το Πρόβλημα των Αρχικών και των Οριακών Τιμών σε μία συνήθη διαφορική εξίσωση. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης καθώς και δεύτερης τάξεως με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές. Το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται τη φιλοσοφία των διαφορών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler, παραθέτεται ένα παράδειγμα που δίνει λύση σε μη γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών. Στη συνέχεια, αναφέρεται η μέθοδος πολλαπλών τιμών. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα με την μέθοδο Adams-Moulton μέθοδο, όπως επίσης και η αναφορά στις εναλλακτικές αριθμητικές μεθόδους. Τέλος στο κεφάλαιο 3, γίνεται η προσπάθεια να φανεί το εύρος των εφαρμογών των μερικών διαφορικών εξισώσεων στον ασφαλιστικό τομέα. Μέσα από τα μοντέλα πολλαπλών καταστάσεων βλέπουμε πως η εξέλιξη ενός ασφαλισμένου κινδύνου μπορεί να θεωρηθεί ως μία ακολουθία συμβάντων που καθορίζει τα ασφάλιστρα και τις αποζημιώσεις και πώς οι διαφορικές εξισώσεις μας βοηθούν να βρούμε τις πιθανότητες μετάβασης από την μία κατάσταση στην άλλη. Στο τέλος της εργασίας παρατίθενται γραφήματα και πίνακες.