Κατανομές με βαριές ουρές στα αναλογιστικά μαθηματικά

Abstract

Για τα περισσότερα από τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται στα ασφαλιστικά μαθηματικά, η θεωρία κινδύνου παρέχει την ουσιώδη μαθηματική βάση. Στα βασικά μοντέλα της θεωρίας κινδύνου, ο διαχωρισμός μεταξύ μικρών και μεγάλων αποζημιώσεων είναι σχετικός . Η μοντελοποίηση ακραίων γεγονότων συμπληρώνεται διαρκώς με αρχή το κλασικό μοντέλο κινδύνου. Η στοχαστική μοντελοποίηση διαδικασιών αποζημιώσεων ξεκινά το 1903 με την εργασία του Filip Lundberg, που έθεσε τα θεμέλια της αναλογιστικής θεωρίας κινδύνου. Ο Lundberg κατανόησε ότι οι διαδικασίες Poisson δεν αφορούν τις ασφάλειες ζωής και με έναν χρονικό μετασχηματισμό, τον ονομαζόμενο «λειτουργικό χρόνο» περιόρισε την ανάλυσή του στις ομογενείς διαδικασίες Poisson . H ανακάλυψη αυτή είναι όμοια με την αναγνώρ ιση από τον Bachelier , το 1900, ότι το κλειδί των οικονομικών μοντέλων βρίσκεται στη κίνηση Brown. Τις ιδέες του Lundberg ενσωμάτωσε ο Harald Cramer και η σχολή του στη Στοκχόλμη στη θεωρία κινδύνου των στοχαστικών διαδικασιών, με την οποία ετέθησαν οι βάσεις των ασφαλιστικών μαθηματικών και της θεωρίας των πιθανοτήτων. Το βασικό μοντέλο, που προέκυψε απ’ αυτές τις πρώτες εργασίες αναφέρεται σαν Κλασικό μοντέλο κινδύνου ή “ Μοντέλο των Cram ér – Lundberg” . Το μοντέλο αυτό δίνει ασυμπτωτικό τύπο της πιθαν ότητας χρεοκοπίας καθώς x →∞ . Έκτοτε, διάφορες προσεγγιστικές μέθοδοι δίνουν αποτελέσματα με υποθέσεις μικρών ή μεγάλων αποζημιώσεων και διάφορες συναρτήσεις κατανομής των αποζημιώσεων. Οι κατανομές των μεγάλων αποζημιώσεων έχουν ασ υνήθιστες και ενδιαφέρουσες ιδιότητες και η μελέτη τους άρχισε το 1964 με την ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα μελέτη του Chistyakov . Στην κατηγορία των μικρών αποζημιώσεων ανήκουν οι εκθετικές κατανομές, ενώ στην κατηγορία των μεγάλων αποζημιώσεων ανήκουν οι κατανο μές που δεν έχουν πεπερασμένη εκθετική ροπή. Η παρούσα μελέτη πραγματεύεται δύο από τις σημαντικότερες ιδιότητες των κατανομών με βαριές ουρές, που είναι η ισοδυναμία μέγιστου αθροίσματος και η συνέλιξη κλειστότητας και τις ασυμπτωτικές της πιθανότητας χρεοκοπίας.